Question

Um bloco A com massa mA desliza ao longo do eixo x sobre um piso sem atrito com

velocidade vA = 4,0 m/s. Ele sofre então uma colisão perfeitamente elástica unidimensional com o

bloco B, de massa mB= mA, inicialmente em repouso. Determine as velocidades dos blocos A e B após a

colisão.​

Answer 1

Como a colisão é perfeitamente elástica, podemos usar tanto a lei da conservação do momento quanto a lei da conservação da energia.

Para simplificar a notação, vamos levar em conta que a colisão é unidimensional pois ocorre no eixo x, e o sinais já darão conta da direção. Assim podemos ignorar a notação vetorial.

Seja $m_A = m_B = m$ a massa do blocos.

Seja também $v_A$ e $v_B$ as velocidades dos blocos antes da colisão.

Por fim, seja $v_{A'}$ e $v_{B'}$ as velocidades dos blocos após a colisão.

Temos a conservação do momento. Ela diz que o momento total do sistema se conserva, ou seja, é o mesmo antes e depois a colisão:

$\displaystyle{p=p'}$

O momento total é a soma do momento de ambos os blocos:

$\displaystyle{p=p_A+p_B=p_{A'}+p_{B'}=p'}$

O momento do bloco A antes da colisão é o produto da massa pela velocidade. Já o momento do bloco B antes da colisão é zero, pois o bloco estava em repouso:

$\displaystyle{p_A=mv_A}$

$\displaystyle{p_B=0}$

O momento dos blocos A e B após a colisão podem ser escritos como:

$\displaystyle{p_{A'}=mv_{A'}}$

$\displaystyle{p_{B'}=mv_{B'}}$

Por fim, temos a seguinte equação:

$\displaystyle{p_A+p_B=p_{A'}+p_{B'}}$

$\displaystyle{\boxed{mv_{A}=mv_{A'}+mv_{B'}}}$ (1)

Para terminar a montagem do problema, temos que levar em conta a conservação da energia cinética na colisão, já que ela é perfeitamente elástica.

A expressão para a energia cinética é:

$\displaystyle{T=\frac{1}{2}mv^2}$

A energia total se conserva:

$\displaystyle{T_A+T_B = T_{A'}+T_{B'}}$

Assim como foi feito com o momento, podemos escrever essas quantidades em termos do que já temos:

$\displaystyle{T_A = \frac{1}{2}mv_{A}^2}$

$\displaystyle{T_B =0}$

$\displaystyle{T_{A'} = \frac{1}{2}mv_{A'}^2}$

$\displaystyle{T_{B'} = \frac{1}{2}mv_{B'}^2}$

Por fim temos:

$\displaystyle{\boxed{\frac{1}{2}mv_{A}^2=\frac{1}{2}mv_{A'}^2+\frac{1}{2}mv_{B'}^2}}$ (2)

Temos duas equações com duas incógnitas, precisamos achar as velocidades finais de cada bloco. Para isso, vamos manipular as equações.

Para a equação da energia (2):

$\displaystyle{\frac{1}{2}mv_{A}^2=\frac{1}{2}mv_{A'}^2+\frac{1}{2}mv_{B'}^2}$

Dividindo tudo por  $\frac{1}{2}m$:

$\displaystyle{v_{A}^2=v_{A'}^2+v_{B'}^2}$

$\displaystyle{v_{A}^2-v_{A'}^2=v_{B'}^2}$

Usando a relação $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$:

$\displaystyle{\boxed{(v_{A}+v_{A'})(v_{A}-v_{A'})=v_{B'}^2}}$ (3)

Para a equação do momento (1):

$\displaystyle{mv_{A}=mv_{A'}+mv_{B'}}$

Dividindo tudo por $m$:

$\displaystyle{v_{A}=v_{A'}+v_{B'}}$

$\displaystyle{\boxed{v_{A}-v_{A'}=v_{B'}}}$ (4)

Dividindo a equação (3) pela (4):

$\displaystyle{\frac{(v_{A}+v_{A'})(v_{A}-v_{A'})}{(v_{A}-v_{A'})}=\frac{v_{B'}^2}{v_{B'}}}$

$\displaystyle{\boxed{v_{A}+v_{A'}=v_{B'}}}}$ (5)

Usando a equação (5) na equação (4):

$\displaystyle{v_{A}-v_{A'}=v_{A}+v_{A'}}$

$\displaystyle{2v_{A'}=0}$

$\displaystyle{\boxed{v_{A'}=0}}$ (6)

Usando a (6) na (4):

$\displaystyle{\boxed{v_{B'}=v_{A}}}$ (7)

Temos então a nossa resposta final para o problema:

A velocidade do bloco A depois da colisão é 0 [equação (6)] e a velocidade do bloco B após a colisão é a mesma que a do bloco A antes da colisão  [equação (7)].

Ainda, a direção do movimento do bloco B após a colisão será a mesma que a direção do movimento do bloco A antes da colisão.

Como a velocidade do bloco A antes da colisão era de 4,0 m/s, a reposta final para nosso problema é:

$\displaystyle{\boxed{v_{A'}=0\text{ m/s}}}$

$\displaystyle{\boxed{v_{B'}=4\text{ m/s}}}$