Um barracão deverá ser construído com a forma de uma caixa com uma base quadrada. Ele deve ter um volume de 150 pés cúbicos. O concreto para a base custa $4 por pé quadrado; o material para a cobertura $2 por pé quadrado e o material para as laterais $2,50 por pé quadrado. Encontre as dimensões do barracão de menor custo.
A) 5 e 6
B) 3 e 5
C) 4 e 6
D) 2,5 e 5
E) 2,5 e 3,5
Soluções para a tarefa
As dimensões do barracão que fornecem menor custo são l = 5 e h = 6. Letra a).
O barracão tem o formato de uma caixa com base quadrada. A questão não nos dá informação sobre a altura da caixa, deste modo o volume do barracão será:
V = h*l²
Substituindo o valor do volume dado:
150 = h*l²
h = 150/l²
A área da base é:
Ab = l²
O custo da base será:
Cb = Ab*4 = 4l² $/m²
A área da cobertura é a mesma da base l², contudo o custo será diferente:
Cc = 2*Ab = 2l² $/m²
A área de cada lateral será:
Al = hl
O custo será:
Cl = Al*2,5 = 2,5hl
Como não se falou nada sobre a existência ou não de portas, é interessante deixarmos uma das laterais abertas, logo vamos construir apenas 3 laterais, portanto o custo será:
Cl = 3*2,5*hl = 7,5hl
O custo total vale:
C = Cl + Cc + Cb = 2l² + 4l² + 7,5hl = 6l² + 7,5hl
Substituindo o valor de h encontrado no começo:
C = 6l² + 7,5l*(150/l²) = 6l² + 0,05/l
Agora vamos analisar as alternativas:
a) l = 5 e h = 6
1º Passo é ver se satisfaz a relação h = 150/l²:
h = 150/5² = 6
Satisfaz. 2º Passo é calcular o custo total:
C = 6*5² + 7,5*5*6 = 150 + 225 = 375 $/m²
b) l = 3 e h = 5.
h = 150/l² = 150/3² = 150/9 = 16,68, que é diferente de 5. Logo é errada.
c) l = 4 e h = 6.
h = 150/l² = 150/4² = 150/16 = 9,375, que é diferente de 6, logo está errada também.
d) l = 2,5 e h = 5.
h = 150/l² = 150/2,5² = 24, também está errada.
e) l = 2,5 e h = 3,5.
h = 150/l² = 150/2,5² = 24, também incorreta.
Letra a) é a correta.
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