Question

Um balão está preso por dois cabos de aço esticados e presos nos pontos A e B que distanciam 1065 m entre si, conforme mostra a figura. Os ângulos DÂB e BDH medem respectivamente, 22°30` e 45°.
Determine:
a) A altura que o balão se encontra do chão:
b) O comprimento do cabo BD:

Answer 1

O balão está preso por dois cabos, representados pelos segmentos de reta AD e BD. A altura do balão em relação ao solo está representada pelo segmento HD, por este ser perpendicular ao solo.

Há várias informações desnecessárias na imagem. Só precisamos saber do ângulo 45° e da medida 750m entre o cabo BD e o segmento que representa a altura.

a) Para calcular a altura, devemos enxergar um triângulo retângulo formado pelos pontos B, D e H. Temos o ângulo D de 45° → sabendo o valor de sua tangente, podemos achar a altura a qual o balão se encontra:

Tangente = cateto oposto (C.O) / cateto adjacente (C.A)

Neste triângulo, o C.O é a medida 750m entre B e H. Já o C.A é a altura que desejamos encontrar. Sabendo que a tangente de 45° = 1 (isso você precisa saber de cabeça), podemos estabelecer uma relação:

Tg45° = C.O/C.A

1 = 750/x

x = 750m → a altura que o balão se encontra do solo é 750m.

Uma forma de resolver este item mais rapidamente era perceber que, se temos um ângulo reto e outro de 45°, o terceiro ângulo também teria  45° (levando em conta que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°). Desse modo, temos um triângulo isósceles, e a medida dos dois catetos é a mesma.

b) Para achar a medida do cabo BD, podemos usar tanto o seno de 45° quanto seu cosseno, uma vez que ambos têm o mesmo valor (√2/2), assim como os catetos.

Sen = C.O/hip

Cos = C.A/hip

Sen45° = Cos45° = 750/y

$\frac{\sqrt{2} }{2} = \frac{750}{y} \\\\1500 = \sqrt{2} \times y\\y = \frac{1500}{\sqrt{2} } = \frac{1500 \times \sqrt{2} }{\sqrt{2}\sqrt{2} } = \frac{1500 \sqrt{2} }{2} = 750\sqrt{2}$

Dessa forma, o comprimento do cabo BD é 750√2m.

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