Question

Um balão está a uma altura de 50 metros, e esta aumenta a uma taxa constante de 5 m/s. Um
ciclista passa por baixo do balão, se locomovendo em uma linha reta a uma velocidade constante
de 10 m/s. Qual é a taxa de variação entre o ciclista e o balão dois segundo após o ciclista passar
por baixo do balão?

Answer 1

Boa noite!

No momento em que o ciclista passou por baixo do balão este se encontrava a y=50 m de altura. 2 segundos depois o balão se elevou de 5m/s x 2s = 10m e ficou a y=60m, enquanto o ciclista se distanciou 10m/s x 2s = 20m da posição inicial (embaixo do balão), e ficou com x=20m
A distância entre o ciclista e o balão pode ser chamada de 's', por exemplo.
Temos então:
$s^2=x^2+y^2$

Veja que diferenciando em relação ao tempo temos:
$2s\dfrac{ds}{dt}=2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}$

Como queremos a taxa de variação entre o ciclista e o balão, queremos $\dfrac{ds}{dt}$

Então temos os seguintes dados:
$\dfrac{dx}{dt}=10\\\dfrac{dy}{dt}=5\\x=20\\y=60$

Veja que temos s, também:
$s=\sqrt{x^2+y^2}$

Então:
$\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}}{2s}\\\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{(20)(10)+(60)(5)}{\sqrt{20^2+60^2}}\\\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{500}{\sqrt{4\,000}}\\\dfrac{ds}{dt}\approx 7,91$

Espero ter ajudado!