Question

Um balão esférico, que esta sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma
taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa da variação do seu volume, no instante em que seu raio
vale 2m.
s
m
dt
dV 3
= 8,0 π

Answer 1

O volume de uma esfera em função de seu raio é dado por:

$V=\dfrac{4\pi}{3}\cdot r^{3}$

Derivando a função em relação ao tempo:

$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4\pi}{3}\cdot3r^{2}\cdot\dfrac{dr}{dt}\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\dfrac{dr}{dt}$

Como dr/dt = 0,05 m/s e r = 2 m:

$\dfrac{dV}{dt}=4\pi\cdot2^{2}\cdot0,05\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=0,2\pi\cdot4\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{dV}{dt}=0,8\pi~m^{3}/s}}$

Answer 2

O volume do balão aumenta a uma taxa de 0,8π m³/s .

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Podemos encontrar uma equação que relaciona o volume e o raio, que nada mais é que o próprio volume da esfera;
• O volume de uma esfera é dada por V = 4πr³/3;
• A taxa de variação do raio em função do tempo é 0,05 m/s (dr/dt);

Utilizando a regra da cadeia, temos:

dV/dt = dV/dr . dr/dt

Derivando a equação do volume em função do raio:

dV/dr = 4πr²

Substituindo os valores dr/dt = 0,05 m/s e r = 2 m, temos:

dV/dt = 4π.2² . 0,05

dV/dt = 16π.0,05

dV/dt = 0,8π m³/s

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