Question

Um balão esférico, está sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa de variação do seu volume, no instante em que seu raio vale 2 m.

Answer 1

O volume do balão esférico é dado por $V= \frac{4}{3}* \pi*r^3$

e sua derivada é igual a $\frac{dV}{dr}= 4* \pi*r^2$

Sabemos tambem que a variação do raio no tempo é de 0,05m/s

$\frac{dr}{dt}= 0,05 \ entao\ \frac{dt}{dr} = \frac{1}{0,05}$

$\frac{dV}{dr}=( \frac{dV}{dt})*( \frac{dt}{dr}) = (\frac{dV}{dt})* \frac{1}{0,05}$

Então:

$\frac{dV}{dt}* \frac{1}{0,05}=4*\pi*r^2$

$(\frac{dV}{dt}) = 0,05*4*\pi*r^2\\\\ (\frac{dV}{dt}) = 0,2*\pi*r^2$

Para raio = 2

$(\frac{dV}{dt}) = 0,2*\pi*2^2\\\\ (\frac{dV}{dt}) = 0,2*\pi*4 = 0,8*\pi$

A taxa de variação é de $0,8 * \pi$

Answer 2

O volume do balão esférico é dado por:

     $\mathsf{V=\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}}$


A derivada dessa função fica

     $\mathsf{\dfrac{dV}{dr}=\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot 3 r^{2}}$

     $\mathsf{\dfrac{dV}{dr}=4\cdot \pi \cdot r^{2}}$


Para saber a derivada quando o raio vale 2 m basta substituir

     $\mathsf{V'(2)=4\cdot \pi \cdot 2^{2}}$

     $\mathsf{V'(2)=4\cdot 4\cdot \pi}$

     $\mathsf{V'(2)=16\ \pi}$


Essa é a taxa de variação do volume em função do raio, a partir da derivada do raio em função do tempo podemos obter a derivada do volume em função do tempo

     $\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot \dfrac{dr}{dt}}$

     $\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=16\ \pi\cdot 0,05}$

     $\boxed{\begin{array} \mathsf{\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=0,8\ \pi}}\end {array}}$


A taxa de variação é de 0,8 π m³/s


Bons estudos! =)