Question

Um balão de ar quente sai do solo as 9h da manha (origem do sistema cartesiano) e retorna ao solo 8h apos sua saida, conforme demostrado a seguir a altura h em metros do balão esta em função do tempo t, em horas, atras da formula: h(t)= -3/4*t^2+6t.

Answer 1

A altura máxima do balão é de 12 km.

A fórmula que nos mostra a trajetória do balão é:

$h(t)= -\dfrac{3t^2}4+6t$

Onde h representa a altura atingida por ele e t o tempo após sua saída. Queremos saber qual a altura máxima dele, para isso calculamos a coordenada y do vértice de sua trajetória.

$y_v = \dfrac{-\Delta}{4a}\\\\\\y_v = \dfrac{-(6^2+4.\dfrac34.0)}{-4.\dfrac34}\\\\\\y_v = \dfrac{-36}{-3}\\\\\\y_v = 12$

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Answer 2

A altura máxima alcançada pelo do balão é 12 m.

Primeiramente, observe que a função dada calcula a altura do balão em função do tempo t a partir de 9 horas, ou seja, do início do passeio. Como descreve a questão, o balão sai do solo às 9h da manhã (origem do sistema cartesiano) e retorna ao solo 8h após sua saída.

Para determinar a altura máxima que o balão atingiu, duas maneiras são apresentadas:

 (1) Calcular $h(\frac{8}{2} )$.

 A justificativa para tal é que a parábola que descreve a trajetória do balão é simétrica cortando o eixo $x$ em $t=0$ e $t=8$. Isso é equivalente a pensar que o balão atinge a altura máxima na metade do passeio.

$h(\frac{8}{2})=h(4)=-\frac{3}{4} \cdot (4)^{2}+6 \cdot (4)=12$

Dessa forma, a altura máxima alcançada pelo do balão é 12 m.

(2) Determinar a coordenada $y$ do vértice da parábola.

Para tal, lembre-se que podemos encontrar essa coordenada por meio da expressão:

$y_{v} =-\frac{\Delta}{4a}$

, onde $\Delta=b^{2}-4ac$.

Substituindo:

$y_{v} =-\frac{6^{2}-4\cdot(-\frac{3}{4})\cdot 0 }{4(-\frac{3}{4})}=-\frac{36}{-3} =12$

Também, a altura máxima alcançada pelo do balão é 12 m.

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