Question

Um artista plástico foi a uma determinada metalúrgica e solicitou a confecção de uma chapa metálica. Tal chapa é modelada pelas seguintes funções f(X)=-x2+3x e g(X)=2x3-x2-5x Apresentando a seguinte forma: Supondo que seja necessário determinar a área dessa chapa para passar o orçamento de sua confecção para o artista plástico, assinale a alternativa que forneça essa área.

Answer 1

A área dessa chapa é de 16 u.a.

Note que podemos dividir a chapa em duas regiões uma entre os pontos A e B e outra entre os pontos C e D. A área dessas figuras será calculada pela integral entre curvas, ou seja:

A = ∫f(x) - g(x) dx

Na região entre A e B, temos que g(x) > f(x), logo:

A1 = ∫g(x) - f(x) dx

A1 = ∫2x³ - x²- 5x + x² - 3x dx

A1 = ∫2x³ - 8x dx = 2x⁴/4 - 8x²/2 = x⁴/2 - 4x²

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

A1 = F(b) - F(a)

A1 = 0⁴/2 - 4.0² - ((-2)⁴/2 - 4(-2)²)

A1 = 8 u.a

Fazendo o mesmo para a segunda região, neste caso temos f(x) > g(x):

A2 = ∫f(x) - g(x) dx

A2 = ∫-x² + 3x - 2x³ + x² + 5x dx

A2 = ∫-2x³ + 8x dx = -2x⁴/4 + 8x²/2 = -x⁴/2 + 4x²

A2 = -2⁴/2 + 4.2² - (0⁴/2 + 4.0²)

A2 = 8 u.a

A área da chapa é:

A = A1 + A2

A = 16 u.a