Question

Um anel de massa 2,0 kg pode deslizar sem atrito ao longo de um aro de arame que passa por dentro dele. O anel está também preso a uma mola de constante elástica k = 50 N/m, cuja outra extremidade está presa a um ponto fixo D. O comprimento não deformado da mola é L = 1,1 m; g = 10 m/s²; R = 1,2 m; y = 0,5 m. Abandonando-se o anel no ponto A, qual será sua velocidade ao passar pelo ponto B?

Answer 1

Olá,td bem?

Resolução:

Perceba que quando o anel encontra-se no ponto mais alto, em A ,antes de ser abandonado tem-se: a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica ,quando abandonado, uma pequena parte dessa energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética e o restante ficará armazenada em potencial elástica ,uma vez que a mola esticara R+y no ponto mais baixo em B.

Primeiro calcularemos o quanto a mola deformou (x) em A,fica:

Dados:

R=1,2m

y=0,5m

xᵃ=?

$x_A =\left(\sqrt{R^2+y^2}\right)-L\\ \\ x_A=\left(\sqrt{1,2^2+0,5+2} \right)-(1,1)\\ \\ x_A=\left(\sqrt{1,44+0,25} \right)-(1,1)\\ \\ x_A=\left(\sqrt{169\right)} -(1,1)\\ \\ x_A=(1,3)-(1,1)\\ \\ \boxed{x_A=0,2m}$

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Deformação da mola quando o anel passa em B,fica:

Dados:

R=1,2m

y=0,5m

xᵇ=?

$x_B=(R+y)-(L)\\ \\ x_B=(1,2+0,5)-(1,1)\\ \\x_B=(1,7)-(1,1)\\ \\ \boxed{x_B=0,6m}$

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Pela conservação da energia mecânica ,teremos que :

$\boxed{E_m_i=E_m_f}$

Para resolver usaremos as expressões seguintes:

$\boxed{E_c=\frac{m.v^2}{2}} -\boxed{E_p_g=m.g.h} -\boxed{E_p_e=\frac{K.x^2}{2}}$

Onde:

Ec=energia cinética [Joule]

m=massa [kg]

v=velocidade [m/s]

Epg=energia potencia gravitacional [Joule]

m=massa [kg]

g=aceleração da gravidade [m/s²]

h=R=raio [m]

Epe=energia potencial elástica [Joule]

k=constante elástica da mola [N/m]

x=deformação da mola [m]

Dados

m=2kg

k=50N/m

R=1,2m

xᵃ=0,2m

xᵇ=0,6m

V=?

                         $E_m_i=E_m_f\\ \\ E_p_e+E_p_g=E_c+E_P_e\\ \\ \dfrac{k.x_A^2}{2} +m.g.R=\dfrac{m.v^2}{2} +\dfrac{k.x_B^2}{2} \\ \\ \dfrac{50*(0,2)^2}{2} +(2)*(10)*1,2)=\dfrac{2*v^2}{2} +\dfrac{50*(0,6)^2}{2} \\ \\ \dfrac{50*0,04}{2} +24=\dfrac{2.v^2}{2} +\dfrac{50*0,36}{2} \\ \\ \dfrac{2}{2} +24=\dfrac{2.v^2}{2}+\dfrac{18}{2}\\ \\ 1+24=\dfrac{2.v^2}{2} +9\\ \\ v=\sqrt{\dfrac{2*(25-9)}{2}} \\ \\ v=\sqrt{\dfrac{2.16}{2}} \\ \\ v=\sqrt{\dfrac{32}{2}} \\ \\ v=\sqrt{16} \\ \\ \boxed{v=4m/s}$

                                           Bons estudos!=)