Question

Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n ≥ 1, é formada por n escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e #**# é uma palavra de comprimento 4.
Usando esse alfabeto minimalista,

a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?

b) qual é o menor valor de N para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho menor ou igual a N?

Answer 1

Gostei desse problema, vou resolver(tentar) kk.

Vamos lá então!

a)x<6=5,4,3,2,1(inteiros sempre, blz?)

Temos 2 símbolos que podem ser "arranjados" em 5,4,3,2 ou 1 slots, portanto, como não há nenhuma restrição de repetição, faz 2^n blz?

2⁵=32
2⁴=16
2³=8
2²=4
2¹=2

Somando td:
32+16+8+4+2
32+30
62 palavras

b)Pois bem, temos a seguinte equação:

2^n≃1.000.000

Tem que logaritmar, eu acho(pra falar a vdd eu nunca aprendi logaritmo, então dei uma olhada bem por cima pra fazer isso)

log1.000.000=log2^n
6=n*0,30102
n=6/0,030102
n=19,93 

Bom, não dá pra fazer um palavra com um número não inteiro de letras, então tem que arredondar pra baixo né?é isso produção?

Portanto n=19

Só conferindo msm
2^19=524288

É isso aí
Deu pra entender bem?
Bons estudos

Answer 2

$\bold{a)} \\ \\ Pelo \ PFC \ \Rightarrow$

$Para \ cada \ 'd\'igito' \ da \ palavra, \ temos \ 2 \ escolhas : \\ \\ * \ e \ \# .$

$Palavras \ com \ comprimento \ menor \ do \ que \ 6 : \\ \\ Com \ 1 \ letra \ \longrightarrow \\ \\ Temos \ 2 \ possibilidades; \\ \\ Com \ 2 \ letras \ \longrightarrow \\ \\ Temos \ 2 \ \cdot \ 2 \ = \ 4 \ possibilidades; \\ \\ Com \ 3 \ letras \ \longrightarrow \\ \\ Temos \ 2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 2 \ = \ 8 \ possibilidades; \\ \\ Com \ 4 \ letras \ \longrightarrow \\ \\ Temos \ 2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 2 \ = \ 16 \ possibilidades;$

$Com \ 5 \ letras \ \longrightarrow \\ \\ Temos \ 2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 2 \ = \ 32 \ possibilidades.$

$Ok, \ temos \ ent\~ao \ uma \ soma \ de \ PG : \\ \\ 2 \ + \ 4 \ + \ 8 \ + \ 16 \ + \ 32 \ = \ \boxed{\boxed{62 \ palavras \ poss\'iveis}}$

$\bold{b)} \\ \\ A \ partir \ do \ item \ \bold{a)}, \ vemos \ que, \ para \ cada \ palavra \ de \ comprimento \\ x, \ temos \ 2^x \ possibilidades \ de \ palavras.$

$Ou \ seja, \ para \ uma \ quantidade \ de \ 10^6 \ palavras, \ sendo \ N \ o \\ comprimento : \\ \\ 2^N \ \geq \ 10^6 \\ \\ Existem \ alguns \ logaritmos \ conhecidos, dentre \ eles \ \log \ 2 \ \approx \ 0,3.\\ \\ Vamos \ aplicar \ logaritmo \ decimal : \\ \\ \log 2^N \ \geq \ \log \ 10^6 \ \rightarrow$

$N \ \cdot \ \log 2 \ \geq \ 6 \ \cdot \log \ 10 \ \rightarrow \ log \ 2 \ \approx \ 0,3 \ e \ \log \ 10 \ = \ 1 : \\ \\ N \ \cdot \ 0,3 \ \geq \ 6 \ \rightarrow \\ \\ N \ \geq \ \frac{6}{0,3} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{N \ \geq \ 20} \ \rightarrow \ Como \ aproximamos \ o \ valor \ do \ log \ (\log 2 \ \ \textgreater \ \ 0,3), \\ \ digamos \ que \\ realmente \ o \ menor \ valor \ de \ N \ \'e \ 19. \ Logo, \\ \\ \boxed{\boxed{N \ = \ 19}}$