Question

Um agricultor tem 300 metros de arame para construir um curral de forma retangular. Quais devem ser as dimensões do curral para que a área cercada seja máxima?

Answer 1

Vamos lá.

Veja que a área máxima de um retângulo será quando esse retângulo tiver todos os seus lados iguais. E, nesse caso, esse retângulo será um quadrado (note que um quadrado é um retângulo que tem todos os seus 4 lados iguais,ok?).
Então se temos 300 metros de arame para construir um curral de forma retangular, teremos que o perímetro (P) desse retângulo será dado por (chamando-se o comprimento de "x" e a largura de "y"):

2x + 2y = P ----- Como a "metragem" de arame dá 300 metros, então substituiremos o perímetro (P) por 300, ficando:

2x + 2y = 300 ----- note que poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos com:

x + y = 150
y = 150 - x       . (I)

Agora vamos para a área máxima (Am) que será dada por comprimento (x) vezes largura (y). Então:

Am = x*y ---- substituindo-se "y" por "150-x", conforme vimos na expressão (I), teremos:

Am = x*(150-x) --- efetuando o produto indicado, teremos:
Am = 150x - x² ---- ou, ordenando, teremos:
Am = - x² + 150x -----  veja que ficamos com uma função do 2º grau da forma: f(x) = ax²+bx+c, que é é a nossa área máxima. Assim, chamando "Am" de f(x), teremos que:

f(x) = - x² + 150x ---- veja que esta função terá um máximo, pois o termo "a" é negativo (o termo "a" é o coeficiente de x²). E o "x" que dará a área náxima será dado pelo "x" do vértice da parábola (xv), cuja fórmula é esta:

xv = -b/2a ------ substituindo-se "b" por "150" e "a" por "-1", teremos:
xv = -150/-2*1
xv = -150/-2 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então:
xv = 150/2
xv = 75 metros <---- Este deverá ser o "x" do vértice que dará a área máxima.

Logo, as dimensões do curral deverão ser de:

75x75 metros <---- Esta é a resposta. Ou seja, o curral deverá ter 75 metros de comprimento por 75 metros de largura. E veja que é um quadrado, pois todos os seus lados terão 75 metros (e note que 4*75 = 300 metros, que é o perímetro do curral, que já havíamos visto antes).

E se quiser saber qual será a sua área máxima (Am), então basta fazer:

Am = 75*75 = 5.625m² <---- Esta deverá ser a área máxima do curral, mas só se você quisesse saber, pois a questão não pede isso. Ela apenas pede as dimensões do curral para que a área seja máxima e isso já foi dado.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?:
Adjemir.