Question

Um agricultor cultiva, atualmente, um terreno de 30.000 metros quadrados em formato circular e planeja ampliá-lo, mantendo esse formato, aumentando seu raio à taxa de 10 metros a mais por ano, nos próximos 10 anos.

Assim, em 2023, o terreno terá 220 metros de diâmetro; em 2024, terá 240 metros de diâmetro; e assim por diante.



Adote a aproximação π = 3.


Sendo assim, o perímetro do terreno cultivado, no ano 2033, será aproximadamente igual, em metros, a


A)
120.

B)
200.

C)
300.

D)
600.

E)
1.200.

Answer 1

Usando a noção de Progressão Aritmética ( P.A. ), obtém-se um perímetro de:

1 200 m , em 2033

Este problema está a pedir o perímetro de uma circunferência num determinado ano futuro.

A partir de agora indicarei que perímetro será simbolizado por "P" e diâmetro por "d "

Cálculo do perímetro (P) atual

$P=2\cdot \pi \cdot r$

• Sendo $\pi =3$ necessita-se de encontrar o valor do raio ( $r$ )

Sabe-se que a área é de 30 000 m²

Recorrendo à fórmula da área, obtém-se o raio.

Área do circulo = $\pi \cdot r^2$

$30000=3\cdot r^2\\~\\30000\div3=3\cdot r^2\div3\\~\\10000=r^2\\~\\r=+\sqrt{10000}\\~\\r=100~m$

Sabendo o raio , o perímetro atual é de:

$P~(atual)=2\cdot 3\cdot 100\\~\\=600~m$

Temos então dados para formar a sequência dos perímetros.

2022 → 600 m

Este será o primeiro termo da sequência.

Em 2023 terá um perímetro de:

( o raio aumentou 10 m, logo em 2023 terá raio = 110 m)

$Aumento ~~do~~per\acute{i}metro\\~\\P=2\cdot 3\cdot 10\\ ~\\Aumenta~~60~m$

E o perímetro aumenta 60 m cada ano

$P_{2023}=2\cdot \pi\cdot r_{2023}\\~\\=2\cdot 3\cdot 110~m\\~\\=660~m$

Em 2024 terá um perímetro de:

( o raio aumentou 10 m, logo em 2024 terá raio = 120 m)

$P_{2024}=2\cdot \pi\cdot r_{2024}\\~\\=2\cdot 3\cdot 120~m\\~\\=6\cdot 120\\~\\=720 ~m$

A sequência já tem três termos donde podemos definir se será algum tipo de progressão.

$a_{1} =600~~~~~a_{2} =660~~~~~a_{3} =720~~~...$

• $a_{2} -a_{1}=660-600=60$
• $a_{3} -a_{2}=720-660=60$

Trata-se de uma Progressão Aritmética ( P.A.) , pois um termo menos o termo anterior dá o mesmo valor.

A esse valor dá-se o nome de razão $(~r~)$

Esta P.A. terá 11 termos.

Pois $2032-2022=10+1=11$  

Pois o ano de 2022 é o primeiro ano de cultivo, neste problema, por isso

se adiciona na contagem dos anos.

Perímetro área cultivada ao longo dos anos :

$P~(2022)=2\cdot 3\cdot 100=600~m\\~\\P~(2023)=2\cdot 3\cdot 110=660~m \\~\\P~(2024)=2\cdot 3\cdot 120=720~m \\~\\P~(2025)=2\cdot 3\cdot 130=780~m \\~\\P~(2026)=2\cdot 3\cdot 140=840~m\\~\\P~(2027)=2\cdot 3\cdot 150=900~m\\~\\P~(2028)=2\cdot 3\cdot 160=960~m\\~\\P~(2029)=2\cdot 3\cdot 170=1~020~m\\~\\P~(2030)=2\cdot 3\cdot 180=1~080~m\\~\\P~(2031)=2\cdot 3\cdot 190=1~140~m\\~\\P~(2032)=2\cdot 3\cdot 200=1~200~m\\~\\P~(2033)=1~200~m$

Ele aumentou o perímetro nos 10 anos seguintes.

Esse período de 10 anos termina em 2032.

No ano de 2033 já não aumenta mais nada.

   

Resolução por Progressão Aritmética.

Cálculo do termo 11 da P.A.

Usando a fórmula do Termo Geral ( $\large a_{n}$ ) de uma P.A.

$a_{n}=a_{1}+r\cdot(n-1)$

onde

" $a_{1}$ " é o primeiro termo

" $r$ " é a razão

$a_{11}=600+60\cdot(11-1)\\~\\a_{11}=600+60\cdot 10\\~\\a_{12}=600+600=1~200~m$

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https://brainly.com.br/tarefa/3024264?referrer=searchResults

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Bons estudos.

Att Duarte Morgado

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$(\cdot)$   multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.