Question

(UFVJM - 2018) - Um Sistema Linear é denominado como:

- Possível Determinado (S.P.D.) quando ele tem uma única solução;
- Possível Indeterminado (S.P.I.) quando ele tem infinitas soluções;
- Impossível (S.I.) quando ele não tem solução.

Ao resolvermos o sistema

$\begin{cases}\bf x + 3y + 2z = a\\\bf 2x + y + 7z = b\\\bf 5x + 10y + 13z = c\end{cases}$


onde a, b, c pertencem a R, é CORRETO afirmar que:

A) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 3a + b.
B) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 7a - b.
C) O Sistema é Impossível indiferentemente do valor de a, b e c.
D) O Sistema é Possível Determinado indiferentemente do valor de a, b e c

Answer 1

Olá Barbie, antes de resolver este problema de sistemas de equações linear, vamos primeiro ver o que é um sistema de equações linear:

Um sistema de equações lineares é um conjunto de duas ou mais equações de primeiro grau, nas quais duas ou mais incógnitas estão relacionadas.

Problema:

Ao resolvermos o sistema

$\begin{cases}\sf x + 3y + 2z = a\\\sf 2x + y + 7z = b\\\sf 5x + 10y + 13z = c\end{cases}$

Onde a, b, c pertencem a R, é CORRETO afirmar que:

A) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 3a + b.

B) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 7a - b.

C) O Sistema é Impossível indiferentemente do valor de a, b e c.

D) O Sistema é Possível Determinado indiferentemente do valor de a, b e c

Resolução:

Para encontrar a alternativa correta e a solução do sistema de equações lineares vamos usar o método de substituição, que consiste em despejar o valor de uma incógnita e substituí-lo em todas as equações com essa mesma incógnita. Despejamos "x" na primeira equação:

$\sf x + 3y+2z = a$

$\sf x +2z= a-3y$

$\sf x = a-3y-2z$

• Substituímos nas outras duas equações:

$\begin{cases}\sf \sf 2(a-3y-2z) + y + 7z = b\\\sf 5(a-3y-2z) + 10y + 13z = c\end{cases}$

• Agora vamos simplificar as equações:

$\begin{cases}\sf \sf 2a-6y-4z+ y + 7z = b\\\sf 5a-15y-10z + 10y + 13z = c\end{cases}$

$\begin{cases}\sf \sf 2a-5y+3z = b\\\sf 5a-5y+ 3z = c\end{cases}$

Aparentemente simplificamos o sistema de equações 3x3 que se tornou um sistema de equações 2x2, bem, ainda não obtivemos a solução, mas se despejamos "y" na primeira equação, obtemos:

$\sf 2a-5y+3z = b$

$\sf -5y= b-2a - 3z$

$\sf y=-\dfrac{ b-2a - 3z}{5}$

Agora substituímos este valor de "y" na última equação:

$\sf 5a-5\left( -\dfrac{b-2a-3z}{5}\right) +3z = c$

$\sf 5a+b-2a-3z+3z = c$

$\sf 3a+b = c$

Olhe para o sistema de equações ele nos deu uma solução errônea, espere talvez o problema disse que a, b é c pertence aos números reais, se assim for vamos substituir o valor de "a" por 1 e ou o valor de "b" para 2 e obter:

$\sf 3(1)+2 = c$

$\sf 3+2 = c$

$\sf 5= c$

Agora se substituirmos esses valores no sistema de equações obtemos isso:

$\begin{cases}\sf x + 3y + 2z = 1\\\sf 2x + y + 7z = 2\\\sf 5x + 10y + 13z = 5\end{cases}$

Para não realizar um milhão de operações, vamos usar um método muito eficaz chamado Gauss Jordan, que consiste em escrever uma matriz com os coeficientes e as soluções do sistema de equações.

(Lembre-se que se temos "x" o coeficiente é 1 e se temos "2y" o coeficiente é 2)

Se você começar a analisar e ver os coeficientes, obterá a seguinte matriz:

$\left(\begin{array}{ccc|c}\sf 1&\sf3&\sf2&\sf1\\ \sf 2 &\sf 1&\sf 7&\sf 2\\ \sf 5&\sf 10&\sf 15&\sf 5\end{array}\right)$

• Reduzindo a matriz obtemos:

$\left[\begin{array}{ccc|c}\sf 1&\sf 0&\sf \dfrac{19}{5}&\sf1\\ \sf 0&\sf 1&\sf -\dfrac{3}{5}&\sf 0\\ \sf 0&\sf 0&\sf 0&\sf 0\end{array}\right]$

Por teoria, uma matriz com uma coluna cheia de zeros tem infinitas soluções.

• Qualquer valor de a, b e c da expressão c = 3a + b terá infinitas soluções.

Opção correta:

A) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 3a + b.

Mais em:

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Dúvidas? Comente :D

$\textit{\textbf{Nitoryu}}$

Answer 2

Resposta:

1       3      2      a

2      1       7       b

5     10      13     c

Usando Cramer

1       3        2      1     3

2      1        7       2     1

5     10      13      5     10

Δ=13 + 105 +40 - 78 - 70 -10 =0

Δ=0

a       3        2      a     3

b       1        7       b     1

c     10      13       c     10

Δx =13a+21c+20b-39b-70a-2c

Δx =-57a-19b+19c

x =Δx/Δ =Δx/0                

Se Δx=0  O Sistema é Possível Indeterminado

Se Δx≠0  O Sistema é Impossível (S.I.)

1       a        2      1     a

2      b       7       2     b

5     c     13      5       c

Δy=13b+35a+4c-26a-7c-10b

Δy=9a+3b-3c

y =Δy/Δ =Δy/0                

Se Δy=0  O Sistema é Possível Indeterminado

Se Δy≠0  O Sistema é Impossível (S.I.)

1       3        a      1     3

2      1        b      2     1

5     10      c      5     10

Δz=c+15b+20a-6c-10b-5a

Δz=15a+5b-5c

z =Δx/Δ =Δx/0                

Se Δz=0  O Sistema é Possível Indeterminado

Se Δz≠0  O Sistema é Impossível (S.I.)

Basta um Δx ou Δy  ou Δz  , como Δ=0, o sistema será Impossível (SI)

{-57a-19b+19c=0  ==>div por 3 ==>-3a-b+c=0

{9a+3b-3c =0   ==>div por 3 ==>3a+b-c=0

{15a+5b-5c =0 ==>div por 3 ==>3a+b-c=0

Se 3a+b-c=0   ==>  Possível Indeterminado (S.P.I.)

c=3a+b

Se 3a+b-c≠0   ==>  Impossível (S.I.)

c≠ 3a+b

A) O Sistema é Possível Indeterminado se c = 3a + b.