Question

(UFV-MG) Seja o número complexo $z= \frac{1+i}{1-i}$, então $z^{725}$ é igual a:

a) -1
b) 1
c) 2i
d) -i
e) i

Answer 1

Para tirar o i do denominador, vamos multiplicar a fração pelo seu conjugado:

$\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}$

Temos que:

$i=\sqrt{-1} \\ \\ i^2=(\sqrt{-1})^2=-1$

Substituindo na expressão:

$\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+2i-1}{1-(-1)}=\frac{2i}{2}=i$

Calculando o que se pede:

$z=i \\ \\ z^{725}=i^{725} \\ \\ z^{725}=i^{4\cdot181+1} \\ \\ z^{725}=(i^4)^{181}\cdot i^1 \\ \\ z^{725}=1^{181}\cdot1 \\ \\ z^{725}=1$

Resposta: b) 1