Question

(UFU-MG) Determine todos os valores de x E R tais que satisfaçam a equação log[4] (x-3) = 1 + log[16] (x-3).

Resposta: S={19}

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Egg, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar os valores reais de "x" que satisfazem à equação logarítmica abaixo:

log₄ (x-3) = 1 + log₁₆ (x-3).

Antes de iniciar a resolução propriamente dita, vamos, primeiro, encontrar as condições de existência da equação acima. Como só há logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que o logaritmando (x-3) seja MAIOR do que zero. Logo:

x - 3 > 0
x > 3 ----- Esta é a única condição de existência da expressão logarítmica da sua questão.

Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₄ (x-3) = 1 + log₁₆ (x-3) ----- note que 16 = 4². Assim, iremos ficar com:
log₄ (x-3) = 1 + log₄² (x-3)

Agora note isto e não esqueça mais: o INVERSO do expoente da BASE passa a multiplicar o respectivo logaritmo. Então iremos ter isto:

log₄ (x-3) = 1 + (1/2)*log₄ (x-3) ---- passando (1/2)*log₄ (x-3) para o 1º membro, ficaremos com:

log₄ (x-3) - (1/2)*log₄ (x-3) = 1 ---- no 1º membro vamos pôr log₄ (x-3) em evidência, ficando assim:

log₄ (x-3)*[1 - 1/2] = 1 ---- como "1-12 = 1/2", ficaremos com:
log₄ (x-3)*[1/2] = 1 --- ou, o que é a mesma coisa:
(1/2)*log₄ (x-3) = 1 ---- passando "1/2" para expoente, teremos:
log₄ (x-3)¹/² = 1 ----- Agora vamos aplicar a definição de logaritmo. Assim:

4¹ = (x-3)¹/² ----- note que (x-3)¹/² é a mesma coisa que √(x-3). Assim:
4 = √(x-3) ----- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando assim:

4² = √(x-3)² ------ desenvolvendo, ficaremos com:
16 = x-3 ---- passando "-3" para o 1º membro, teremos:
16+3 = x
19 = x --- ou, o que é a mesma coisa:
x = 19 <--- Esta é a resposta e é válida, pois atende à condição de existência.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que significa a mesma coisa

S = {19}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Bom dia Egg

y = x - 3

log4(y) = 1 + log16(y)
log(y)/log(4) = 1 + log(y)/log(16)
log(y)/log(4) = 1 + log(y)/(2log(4))
log(y)/log(4) -  log(y)/(2log(4)) = 1
log(y)/log(4)*(1 - 1/2) = 1
log(y)/log(4) = 2 
log(y) = log(16) 

y = 16
y = x - 3

x - 3 = 16
x = 19

S = (19)