Question

- (UFU-MG) Considere as funções reais feg definidas
por:
f(x) = x2 +
x2
+
+
+
3. 9
27
x2
x2
2
+
+
e
...
31-1
g(x)=x* +
X
x4
2
들
+
+
+.
.. +
t....
4.
8
21-1
isto é, feg são definidas como soma dos elementos
de uma progressão geométrica infinita. Determine os
valores de x para os quais f(x) = g(x).

Answer 1

Resposta:

0 , $-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$ ,  $\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

Explicação passo-a-passo:

A soma de uma PG infinita é dada pela expressão:

$S = \dfrac{a_1}{1 - q}$

Onde a1 é o primeiro termo da sequência e q a razão da PG. (q = a2/a1)

Para f(x):

$a_1 = x^2$

$q = \dfrac{\dfrac{x^3}{3} }{x^3} = \dfrac{1}{3}$

Assim, f(x) pode ser reescrita como:

$f(x) = \dfrac{x^2}{1 - \dfrac{1}{3} } = \dfrac{x^2}{\dfrac{2}{3} } = \dfrac{3x^2}{2}$

Fazendo o mesmo para g(x):

$a_1 = x^4$

$q = \dfrac{\dfrac{x^4}{2} }{x^4} = \dfrac{1}{2}$

$g(x) = \dfrac{x^4}{1 - \dfrac{1}{2} } = \dfrac{x^4}{\dfrac{1}{2} } = 2x^4$

Igualando f(x) = g(x):

$2x^4 = \dfrac{3x^2}{2}\\\\4x^4 - 3x^2 = 0\\x^2(4x^2 - 3) = 0$

x = 0     x =  $-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$     x = $\dfrac{\sqrt{3} }{2}$