Question

(UFTM-MG) Se 0 < x ≤ p e 3 cos (x) + sen (x) = 3, pode-se
afirmar que
a) tg x < -1
b) -1 ≤ tg x <-1/2
c)-1/2 ≤ tg x < 1/2
d)1/2 ≤ tg x <1
e) tg x ≥ 1

Gostaria de resposta detalhada, por favor.

Answer 1

Resposta:

C)

Explicação passo-a-passo:

Intervalo: 0 < x ≤ π

Isso significa que x está no 1º quadrante (entre 0 e 90°).

$3.cos x + sen x = 3 \\\ sen x = 3 - 3.cos x \\\ sen^2 x + cos^2 x = 1 \\\ (3 - 3cos x)^2 + cos^2 x = 1 \\\ 9 - 18cos x + 9cos^2 x + cos^2 x - 1 = 0 \\\ 10cos^2 x - 18cos x + 8 = 0 \\\ cos x = a \\\ 10a^2 - 18a + 8 = 0 \\\ \Delta = b^2 - 4ac \\\ \Delta = (- 18)^2 - 4.10.8 \\\ \Delta = 324 - 320 \\\ \Delta = 4 \\\ a = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ a' = \frac{18 + 2}{20} \\\\ a' = \frac{20}{20} \\\\ a' = 1 \\\ a" = \frac{18 - 2}{20} \\\\ a" = \frac{16}{20} \\\\ a" = 0,8$

Desse modo, chegamos aos resultados:

cos x = a

cos x' = 1

cos x" = 0,8

Porém, se cos x = 1, significa que x = 0. Como 0 está fora do intervalo, não podemos considerar essa como resposta para cos x, pois fica entre 0 e π, porém o π conta no intervalo e o 0 não.

$3cos x + sen x = 3 \\\ 3.0,8 + sen x = 3 \\\ 2,4 + sen x = 3 \\\ sen x = 3 - 2,4 \\\ sen x = 0,6 \\\ tg x = \frac{sen x}{cos x} \\\\ tg x = \frac{0,6}{0,8} \\\\ tg x = 0,48$

Alternativa A: falsa. 0,48 > - 1

Alternativa B: falsa. 0,48 > 0 e, portanto, 0,48 > {- 1 < tg x < - 1/2}

Alternativa C: verdadeira. - 1/2 ≤ 0,48 ≤ 1/2

Alternativa D: falsa. 0,48 < {1/2 ≤ tg x ≤ 1}

Alternativa E: falsa. 0,48 < 1

Espero ter ajudado.