(Ufscar 2000) Sejam m e n dois números reais. A desigualdade m² + n² ≥ 2mn vale
a) somente para m ≥ 0, n ≥ 0.
b) para todos os m e n reais.
c) somente para m = n = 0.
d) somente para m e n inteiros.
No gabarito, a resposta correta é a letra B
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m²+n²-2mn≥0
lembra do produto notável (m-n)² = m²-2mn+n²
(m-n)²≥0
m e n podem assumir qualquer valor real de modo a tornar a inequação válida.
lembra do produto notável (m-n)² = m²-2mn+n²
(m-n)²≥0
m e n podem assumir qualquer valor real de modo a tornar a inequação válida.
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A desigualdade m² + n² ≥ 2mn vale para todos os m e n reais.
Podemos reescrever a equação passando o 2mn para a esquerda, assim, obtemos:
m² + n² ≥ 2mn
m² - 2mn + n² ≥ 0
Essa expressão é um resultado do produto notável (a - b)², então reescrevemos ela como:
(m - n)² ≥ 0
Sabemos que qualquer número elevado ao quadrado é maior ou igual a zero, logo, a expressão é válida para todos os m e n reais.
Resposta: B
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