Question

(Ufscar 2000) Sejam m e n dois números reais. A desigualdade m² + n² ≥ 2mn vale

a) somente para m ≥ 0, n ≥ 0.
b) para todos os m e n reais.
c) somente para m = n = 0.
d) somente para m e n inteiros.

No gabarito, a resposta correta é a letra B

Answer 1

m²+n²-2mn≥0

lembra do produto notável (m-n)² = m²-2mn+n²

(m-n)²≥0

m e n podem assumir qualquer valor real de modo a tornar a inequação válida.

Answer 2

A desigualdade m² + n² ≥ 2mn vale para todos os m e n reais.

Podemos reescrever a equação passando o 2mn para a esquerda, assim, obtemos:

m² + n² ≥ 2mn

m² - 2mn + n² ≥ 0

Essa expressão é um resultado do produto notável (a - b)², então reescrevemos ela como:

(m - n)² ≥ 0

Sabemos que qualquer número elevado ao quadrado é maior ou igual a zero, logo, a expressão é válida para todos os m e n reais.

Resposta: B