Question

(Ufrrj) O número de soluções da equação 2cos²x - 3cosx - 2 = 0 no intervalo [0, π]

Answer 1

O número de soluções dessa equação é 1

$\Large\text{ \boxed{\boxed{1}} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?.

Equação do 2°

Temos a seguinte equação trigonométrica  $2Cos^2(x)-3Cos(x)-2=0$

No intervalo de $\left[0,\pi \right]$ precisamos achar o número de soluções possíveis para essa equação

Podemos usar o método da substituição e transformar essa equação numa equação genérica do 2°

Vamos chamar $\boxed{ Cos(x)= U}$ e onde tiver Cos(x) substituir por U

$2Cos^2(x)-3Cos(x)-2=0\\\\\\\boxed{2U^2-3U-2=0}$

Agora basta fazemos o formula  de Bhaskara  e achar os valores de U

$\Delta = B^2-4\cdot A\cdot C$

$U=\dfrac{-B\pm\sqrt{\Delta} }{2A}$

Bem vamos encontrar o valor de U

$2U^2-3U-2=0\\\\A=2\\B=-3\\C=-2$

Vamos achar o Delta

$\Delta = B^2-4\cdot A\cdot C\\\\\Delta = (-3)^2-4\cdot 2\cdot -2\\\\\Delta = 9+16\\\\\boxed{\Delta = 25}$

Agora vamos achar os valores de U

$U=\dfrac{-B\pm\sqrt{\Delta} }{2A}\\\\\\U=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25} }{2\cdot 2}\\\\\\U=\dfrac{+3\pm5 }{4}\\\\\\U_1=\dfrac{3+5}{4}\Rightarrow \dfrac{8}{4} \Rightarrow \boxed{2}\\\\\\U_2=\dfrac{3-5}{4}\Rightarrow \dfrac{-2}{4} \Rightarrow \boxed{-\dfrac{1}{2} }$  

Agora lembre-se que U na verdade é Cos(x)

Então vamos substituir U por Cos(x)

$Cos(x)=2\\\\\\Cos(x)= -\dfrac{1}{2}$

• Agora vamos ver se as igualdades são verdadeiras

o Valor do Cos(x) varia entre -1 e 1 então não tem como  Cos(x) ter dado 2 logo essa igualdade é falsa

$\boxed{Cos(x)=2\Rightarrow Falso}$

Agora o Cos(x) pode dar sim  $-\dfrac{1}{2}$  existe infinitos valores que fazem isso ser verdade agora os valores que estão entre  o interavalo dado que é $\left[0,\pi \right]$ só tem 1 que é o ângulo 120°

Ou seja o valor de X é 120° logo o número de soluções só é 1

Aprenda mais sobre equação do 2°.

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