Question

(UFRRJ) Dada a matriz A a seguir, denotamos por A^-1 a matriz inversa de A. Então A+A^ é igual a?

Answer 1

O valor de A + A⁻¹ é $\left[\begin{array}{ccc}1&1\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

A matriz A é $A=\left[\begin{array}{ccc}1&2\\-1&0\end{array}\right]$.

A matriz multiplicada pela sua inversa resulta na matriz identidade, ou seja, A.A⁻¹ = I.

Vamos considerar que a matriz inversa se A seja $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$.

Sendo assim, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\-1&0\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}a+2c&b+2d\\-a&-b\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$.

Feito isso, temos as seguintes possibilidades:

{a + 2c = 1

{b + 2d = 0

{-a = 0

{-b = 1.

Como a = 0, então o valor de c é:

0 + 2c = 1

2c = 1

c = 1/2.

Como b = -1, então o valor de d é:

-1 + 2d = 0

2d = 1

d = 1/2.

Portanto, a matriz inversa de A é igual a:

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0&-1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]$.

Para somar duas matrizes, basta somar os elementos correspondentes, ou seja,

$A+A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&2\\-1&0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0&-1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$A+A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1+0&2-1\\-1+\frac{1}{2}&0+\frac{1}{2}\end{array}\right]$.

Portanto, a soma das duas matrizes resulta na matriz:

$A+A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]$.