Question

(UFRJ)- A soma de dois números é 6 e a soma de seus quadrados é 68. O módulo da diferença desses dois números?
Resposta=10
PRECISO DE EXPLICAÇÃO DO CALCULO

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

x+y=6 => y=6-x (I)

x²+y²=68 (II)

Substituindo (I) em (II)

x²+(6-x)²=68

x²+36-12x+x²=68

2x²-12x-32=0   (÷2)

x²-6x-16=0

$Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-6x-16=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-6~e~c=-16\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-6)^{2}-4(1)(-16)=36-(-64)=100\\\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-6)-\sqrt{100}}{2(1)}=\frac{6-10}{2}=\frac{-4}{2}=-2\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-6)+\sqrt{100}}{2(1)}=\frac{6+10}{2}=\frac{16}{2}=8\\\\S=\{-2,~8\}$

Para x= -2

Substituindo x= -2 em (I)

y=6-(-2)=6+2=8

Para x=8

Substituindo x= 8 em (I)

y=6-(8)= -2

Os números são:

x= -2 e y=8

OU

x=8 e y= -2

O módulo da diferença:

Para x= -2 e y=8

|-2-8|=|-10|=10

ou

Para x=8 e y= -2

|2-(-8)|=|10|=10

Answer 2

Sabemos que a soma de dois números x e y (incógnitos) é igual a 6, ou seja:

$\mathsf{x+y=6\qquad (i)}$

Também nos foi informado que a soma do quadrado de x com o quadrado de y é 68, o que equivale, em linguagem matemática, a:

$\mathsf{x^2+y^2=68\qquad(ii)}$

Baseado nas informações acima, o exercício deseja encontrar o valor de |x - y|, que é o módulo da diferença entre x e y. Para isso, deve-se primeiro partir de (i) e proceder da seguinte maneira:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ \: x+y=6}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x+y)^2=6^2}$

Lembrando que (x + y)² = x² + 2xy + y², temos:

$\mathsf{\qquad\quad\: \ (x+y)^2=6^2}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+2xy+y^2=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+y^2+2xy=36}$

Agora, lembre-se também (de (ii)) que x² + y² = 68, logo:

$\mathsf{\qquad\quad~\: \underbrace{\mathsf{x^2+y^2}\!\!}_{68}\ +\,2xy=36}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 68+2xy=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=36-68}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=-32}$

Ou seja, descobrimos o valor de 2xy. Sabendo que 2xy = - 32, estamos aptos a calcular o valor de |x - y| (valor desejado), e para tal fim, vamos partir da equação (ii) e manipular algebricamente o seu primeiro membro, na tentativa de encontrar a expressão |x - y|. Portanto, ficaremos com:

$\mathsf{x^2+y^2=68}$

Sabendo que x² + y² = (x - y)² + 2xy, obtém-se:

$\mathsf{\qquad\quad \ \: \ x^2+y^2=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2+\!\underbrace{\mathsf{2xy}}_{-32}=68}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2-32=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=68+32}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=100}$

E por último, tendo em mente a propriedade √x² = |x| (x ∈ R), chega-se ao resultado final:

$\mathsf{\qquad\quad~~\:\, \sqrt{\!(x-y)^2}=\sqrt{100}}\\\\ ~\ \mathsf{\iff\quad |x-y|=10}$

Ou seja, o valor de |x - y| = |y - x| é 10.

Resposta:

$\ \large\boxed{\mathsf{|x-y|=10}}$

Obs.: as identidades algébricas (x + y)² = x² + 2xy + y² e x² + y² = (x - y)² + 2xy são válidas para todo x e y complexos.