Question

(UFRGS) Considere $z_{1}$ = -3 + 2i e $z_{2}$ = 4 + i. A representação trigonométrica de $z_{1} + z_{2}$ é: (OBS: Pedi o $z_{2}$ conjugado)

a) $(cos$ $\frac{ \pi }{4} }$ + isen $\frac{ \pi }{4} }$ )
b) $\sqrt{2} (Cos \frac{ \pi }{4} + isen \frac{ \pi }{4}$ )
c) $(cos \frac{3 \pi }{4} + isen \frac{ \pi }{4} )$
d) $\sqrt{2} (cos \frac{7 \pi }{4} + isen \frac{7 \pi }{4})$
e) $(cos \frac{7 \pi }{4} + isen \frac{7 \pi }{4})$

Answer 1

Salve meu velho,

a forma trigonométrica de um complexo é dada por,

$\large\boxed{z=\rho(cos^o+sen^o)}$.

Somando z1 com z2, e sabendo-se que o conjugado de z2=4-i, teremos..

$z_1+z_2=(-3+2i)+(4-i)\\ z_1+z_2=-3+4+2i-i\\\\ \boxed{z_1+z_2=1+i}$

Onde:

$\begin{cases}a=1\\ b=1\end{cases}$

Obtendo a forma trigonométrica..

$\boxed{\rho= \sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \rho= \sqrt{1^2+1^2}\\ \rho= \sqrt{1+1}\\ \rho= \sqrt{2}$

tendo que:

$cos~\theta= \dfrac{a}{\rho}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~sen~\theta= \dfrac{b}{\rho} \\\\ cos~\theta= \dfrac{1}{ \sqrt{2} }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~sen~\theta= \dfrac{1}{ \sqrt{2} } \\\\ cos~\theta= \dfrac{1\cdot \sqrt{2} }{ \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} }~~~~~~~~~~~~~sen~\theta= \dfrac{1\cdot \sqrt{2} }{ \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} } \\\\ cos~\theta= \dfrac{ \sqrt{2} }{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~sen~\theta= \dfrac{ \sqrt{2} }{2}\\\\ cos~\theta=45^o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~sen~\theta=45^o\\\\ cos~\theta=\dfrac{\pi}{4}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~sen~\theta=\dfrac{\pi}{4}$

Portanto sua forma trigonométrica é:

$\Large\boxed{\boxed{z=\sqrt{2}\cdot\left(cos \dfrac{\pi}{4}+ sen \dfrac{\pi}{4}i\right)}}$

E portanto alternativa B


Tenha ótimos estudos ;D