Question

UFRGS A soma dos módulos das raízes de x^2 + 2x + 3 = 0 É?

a resposta é 2raizde3 , gostaria de saber como chegar nela. Obrigado

Answer 1

x²+2x+3=0

Δ=4-12=-8

x'=(-2+√-8)/2 = (-2+√i²*2³)/2 = (-2+2i√2)/2 = -1+i√2

x''=-1-i√2

As raízes são números complexos, os módulos deles são:

Para x'=-1+i√2
módulo = √1²+(√2)² = √3

Para x''=-1-i√2 
módulo = √1+2 = √3

Soma dos módulos = √3 + √3 = 2√3

Answer 2

Sabendo que uma equação do 2º grau é da forma ax²+bx+c, temos:

x²+2x+3=0 com a=1, b=2 e c=3

Δ = b²-4ac = (2)²-4(1)(3) = 4-12 = -8 = 8i²

x₁ = (-b+√Δ)/2a = (-2+√8i²)/2(1) = (-2+2i√2)/2 = -1+i√2
x₂ = (-b-√Δ)/2a = (-2+√8i²)/2(1) = (-2-2i√2)/2 = -1-i√2

Módulo de x₁ = √a²+b² = √(-1)²+(√2)² = √(1+2) = √3
Módulo de x₂ = √a²+b² = √(-1)²+(-√2)² = √(1+2) = √3

Soma dos Módulos: √3+√3 = 2√3

Observações: 

i²=-1 ⇒ -8 = 8i²
√8 = 2√2 ⇒ √8i² = 2√2i² = 2i√2
z = a+bi 
x₁ ⇒ a=-1 e b=√2
x₂ ⇒ a=-1 e b=-√2