Question

(UFPR) Uma circunferência de raio 5 cm tangencia um lado de um quadrado e passa pelos vértices que não pertencem a esse lado, conforme a figura. Calcule a área desse quadrado.

Answer 1

Boa tarde!

O raio que une o centro da circunferência até um dos vértices do quadrado que pertença à circunferência admite um triângulo retângulo cujos catetos são metade do lado do quadrado e a diferença entre o lado do quadrado e um raio (veja que se ligarmos o centro da circunferência até o ponto de tangência a medida é o raio da circunferência). Então, chamando o lado do quadrado de x, teremos:
$5^2=\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+(x-5)^2\\25=\dfrac{x^2}{4}+x^2-10x+25\\x^2+4x^2-40x=0\\5x^2-40x=0\\5x(x-8)=0\\x=0\\x=8$

Como x=0 não nos entrega um segmento de tamanho positivo a única resposta correta é x=8.

Espero ter ajudado!

Answer 2

Resposta:

64cm²

Explicação passo-a-passo:

O primeiro passo é descobrirmos a medida dos lados do quadrado (que são 4 lados iguais). Então:

I) Observamos com plena atenção o círculo e o quadrado. Se inserirmos um ponto O no centro do círculo, perceberemos que podemos formar um triângulo retângulo ligando este centro O ao vértice do quadrado "tangenciado" pelo círculo e traçando uma reta também desse centro O à metade do lado do quadrado. Esse triângulo retângulo terá medidas:

Hipotenusa = 5 cm (raio do círculo);

Cateto menor = (x - 5) cm

Cateto Maior = (x/2)cm

Logo: 5² = (x/2)² + [(x - 5)² ou (x-5).(x-5), para facilitar]

25 = (x² /4) + x² - 10x + 25 (anulamos o 25)

4x² + x² - 40x = 0  ....   5x² - 40x = 0

x(5x - 40) = 0

5x = 40

x = 40 / 5 = 8

Com o lado do quadrado descoberto, temos que a área do quadrado = lado². Então:

S = L² = 8² = 64cm².