Question

(UFPR) Calcule o valor de s de modo que exista somente uma matriz [ x y ], tal que o produto [ 1 1 4 -a a -4 ] [ x y ] seja igual a [ 2 3 -1 ]

Answer 1

Após as resoluções concluímos que o valor de a = 2 para que exista somente uma matriz.

Dadas duas matrizes, $\boldsymbol{ \textstyle \sf A = ( a_{\:ij})_{m \times p}}$  e $\boldsymbol{ \textstyle \sf B = ( a_{\:jk})_{n \times p}}$produto AB a matriz $\boldsymbol{ \textstyle \sf C = ( a_{\:ik})_{m \times k}}$ tal que $\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf C_{\: ik} = a_{\:i1} \cdot b_{\:1k} + a_{\:i2} \cdot b_{\:2k} + \ldots + a_{\:in} \cdot b_{\:nk} = \sum^n_{j=1} \: a_{\: ij} \: b_{\: jk} }$

para todo $\boldsymbol{ \displaystyle \sf i \in \{ 1, 2, \ldots , m \} }$e todo $\boldsymbol{ \displaystyle \sf k\in \{ 1, 2, \ldots , p \} }$.

A linha i da matriz A:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ a_{\: i1} \quad a_{\:i 2} \quad a_{\: i 3} \quad a_{\:in} } } } \quad \gets\Large \text {\sf n elementos }$

A coluna k da matriz B:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf \begin{array}{ c }\sf b_{\: 1k} \\\sf b_{\: 2k} \\\sf b_{\: 3k}\\ \sf \vdots \\\sf b_{\: nk}\end{array} } } } \quad \gets \Large \text {\sf n elementos }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf \begin{array}{ c }\sf a_{\: i1} \\\sf a_{\: i2} \\\sf a_{\: i3}\\ \sf \vdots \\\sf a_{\: in}\end{array} } } } \quad \cdot \quad \Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf \begin{array}{ c }\sf b_{\: 1k} \\\sf b_{\: 2k} \\\sf b_{\: 3k}\\ \sf \vdots \\\sf b_{\: nk}\end{array} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf 1 &\sf 1 \\ \sf 4 & \sf -a \\ \sf a & \sf - 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sf x \\ \sf y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sf 2 \\ \sf 3 \\ \sf -1 \end{bmatrix} } }$

Aplicando a definição, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf x & \sf y \\ \sf 4x & \sf -ay \\ \sf ax &\sf -4y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sf2 \\ \sf 3 \\ \sf -1 \end{bmatrix} } }$

Montando o sistema de equação, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf x+ y = 2 \\\sf 4x -ay = 3 \\\sf ax -4y = - 1 \end{cases} } }$

Aplincando o método da substituição, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf x = 2 -y \\\sf 4x -ay = 3 \\\sf ax -4y = - 1 \end{cases} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4 \cdot ( 2 -y ) -ay = 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{8 -4y -ay = 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ -4y -ay = 3- 8 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ -4y -ay = -5 \quad \times (-1 ) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4y + ay = 5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y \cdot ( 4+a) = 5 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = \dfrac{5}{4 +a } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ ax -4y = - 1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ a \cdot (2 -y) - 4y = -1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2a -ay -4y = - 1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{-ay -4y = - 1 -2a \quad \times (-1) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ ay +y = 1 +2a }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y \cdot ( a +4) = 1 +2a }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = \dfrac{1 +2a}{a +4 } }$

Igualando as duas, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{5}{4 +a} = \dfrac{1+ 2a}{a+4} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (4+a) \cdot (1+2a) = 5 \cdot (a +4) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4 +8a +a + 2a^2 = 5a +20 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2a +a +8a -5 a +4 - 20 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2a^2 +4a - 16 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = 4^2 -\:4\cdot 2 \cdot (-16) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = 16 +128 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = 144 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf a = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,4 \pm \sqrt{ 144 } }{2 \cdot 2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf a = \dfrac{-\,4 \pm 12 }{4 } \Rightarrow\begin{cases} \sf a_1 = &\sf \dfrac{-\,4 + 12}{4} = \dfrac{8}{4} = \: \:2 \\\\ \sf a_2 = &\sf \dfrac{-\,4 - 12}{4} = \dfrac{- 16}{4} = - 4\end{cases} } }$

O enunciado pede o valor de a de modo que exista somente uma matriz, logo a raiz negativa não serve.

Portanto o valor de $\boldsymbol{ \textstyle \sf a = 2 }$.

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