Question

UFPE - uma transportadora de volumes só aceita caixas na forma de paralelepípedos retângulos quando a soma do perímetro da base e da altura é no máximo 2m
Suponha que se pretenda transportar uma caixa, com maior volume possível, no formato de um paralelepípedo com base quadrada, de lado X metros, e altura H metros como ilustrado na figura abaixo

Answer 1

Completando a questão:

Para obtermos volume máximo, os valores de x e h devem satisfazer 4x + h = 2.

Analise as afirmações abaixo, considerando esses dados.

0-0) O volume da caixa, em m³, é dado por 2x² (1 – 2x).

1-1) Quando o lado da base mede 1/3 de metro, o volume da caixa é (1/9)m³.

2-2) A área total da caixa é -8x + 14x², em m².

3-3) A área total da caixa será máxima quando a altura for 6/7 de metro.

4-4) Quando a área total da caixa é máxima, seu volume é (24/343)m³.

Resolução:

Vamos analisar cada afirmativa:

0-0) como 4x + h = 2, então h = 2 - 4x.

O volume do paralelepípedo é calculado pelo produto das dimensões.

Portanto,

V = x.x.(2 - 4x)

V = x²(2 - 4x)

V = 2x² - 4x³

V = 2x²(1 - 2x)

Afirmativa está correta.

1-1) Quando x = 1/3, temos que:

V = (2/9) - (4/27)

V = 2/27 m³

A afirmativa está errada.

2-2) A área total é calculada por:

At = 2x² + 2x(2 - 4x) + 2x(2 - 4x)

At = 2x² + 4x - 8x² + 4x - 8x²

At = 8x - 14x²

A afirmativa está errada.

3-3) Como At = -14x² + 8x, então:

$x_v = -\frac{8^2}{2.(-14)} = \frac{2}{7}$

Logo,

$h = 2 - 4.\frac{2}{7} = \frac{6}{7}$

A afirmativa está correta

4-4) A área total é máxima quando x = 2/7. Então:

$V = (\frac{2}{7})^2.(2-4.\frac{2}{7}) = \frac{24}{343}$

A afirmativa está correta.