Question

(ufpa 2008) conhecendo as coordenadas de três pontos A (0,2), B (3,0) e C (-1, -2), encontre a coordenada do centro da circunferência que contém os três pontos​

Answer 1

A coordenada do centro da circunferência é:

C(9/14, - 2/7)

Vamos substituir as coordenadas de cada ponto em uma equação reduzida da circunferência, formando, assim, 3 equações. Depois, montaremos um sistema de equações e o resolveremos.

A equação reduzida da circunferência é:  

(x - a)² + (y - b)² = r²

x e y: as coordenadas do centro

a e b: as coordenadas de um ponto qualquer

r: o raio

Ponto A (0, 2)

(x - 0)² + (y - 2)² = r²

x² + y² - 4y + 4 = r²

Ponto B (3, 0)

(x - 3)² + (y - 0)² = r²

x² - 6x + 9 + y² = r²

Ponto C (- 1, - 2)

(x + 1)² + (y + 2)² = r²

x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = r²

x² + y² + 2x + 4y + 5 = r²

Sistema de equações:

{x² + y² - 4y + 4 = r²

{x² + y² - 6x + 9 = r²

{x² + y² + 2x + 4y + 5 = r²

Subtraindo a equação I da equação II, temos:

 x² + y² - 6x + 9 = r²

- x² - y² + 4y - 4 = - r²

           - 6x + 4y + 5 = 0

           - 6x + 4y = - 5

Subtraindo a equação III da equação II, temos:

 x² + y² - 6x + 9 = r²

- x² - y² - 2x - 4y - 5 = - r²

            - 8x - 4y + 4 = 0

            - 8x - 4y = - 4

              8x + 4y = 4

Fazemos outro sistema de equações:

{  8x + 4y = 4

{- 6x + 4y = - 5  ----> ·(- 1)

{8x + 4y = 4

{6x - 4y = 5 +

14x = 9

x = 9/14

Agora, calculamos o valor de y.

8x + 4y = 4

8.(9/14) + 4y = 4

72/14 + 4y = 4

72 + 56y = 56

56y = 56 - 72

56y = - 16

y = - 16/56

y = - 2/7