Question

(UFOP-MG) resolva essa equação exponencial

Answer 1

EXPONENCIAL

Equação Exponencial 4° tipo (resolução por artifícios)

$\frac{2 ^{x} }{3}- \frac{2 ^{2-x} }{3}=1$

$\frac{2 ^{x} }{3}- \frac{2 ^{2-x} }{3}= \frac{3}{3}$

$2 ^{x}-2 ^{2-x}=3$

Aplicando a propriedade da potenciação, vem:

$2 ^{x}- \frac{2 ^{2} }{2 ^{x} }=3$

Utilizando uma variável auxiliar, fazendo $2 ^{x}=p$, temos:

$(p)- \frac{4}{(p)}=3$

$(p)(p)-4=3(p)$

$p ^{2}-4=3p$

$p ^{2}-3p-4=0$

Por Báskara encontramos as raízes 

$p'=-1 \left e \left p''=4$

Retomando a variável original, $2 ^{x}=p$, temos que:

Para p= -1:

$2 ^{x}=p::2 ^{x}=-1$ (não serve)

Para p=4:

$2 ^{x}=p::2 ^{x}=4::2 ^{x}=2 ^{2}::x=2$


Calculando a expressão $4 ^{ \frac{x}{2} }- x^{2}$, vem:

$4 ^{ \frac{2}{2} }-2 ^{2}::4 ^{1}-4::4-4=0$

Chegamos a conclusão que:

$4 ^{ \frac{x}{2} } - x^{2} =0$