Question

(UFMG) Se a e b são tais que sen(a+b)=0 mostre que cos (a+2b)=cosa

Answer 1

Se a e b são tais que sen(a+b) = 0, então as equações a seguir devem ser verdadeiras:

$\sin{(a+b)}=0\\\\\sin{(a)}\cos{(b)}+\sin{(b)}\cos{(a)}=0\\\\\sin{(a)}\cos{(b)}=-\sin{(b)}\cos{(a)}$

Assumindo a igualdade acima fica fácil mostrar o que é pedido, perceba:

$\hspace{9}\cos{(a+2b)=\cos{((a+b)+b)}}\\\\=\cos{(a+b)\cos{b}-\underbrace{\sin{(a+b)}}_{=~0}\sin{b}}\\\\=\cos{(a+b)}\cos{b}\\\\=(\cos{(a)}\cos{(b)}-\sin{(a)\sin{(b)}})\cos{(b)}\\\\=\cos{(a)}\cos^2{(b)}}-\sin{(a)}\sin{(b)}\cos{(b)}\\\\=\cos{(a)}\cos^2{(b)}-\underbrace{\sin{(a)}\cos{(b)}}_{=~-\sin{b}\cos{a}}}\sin{(b)}\\\\=\cos{(a)}\cos^2{(b)}+\sin{(b)}\cos{(a)}\sin{(b)}\\\\=\cos{(a)}\cos^2{(b)}+\cos{(a)}\sin^2{(b)}\\\\=\cos{(a)}(\underbrace{\cos^2{(b)}+\sin^2{(b)}}_{=~1})\\\\=\cos{(a)}$

Como queríamos mostrar.