Question

(UFMG) O valor da expressão (a^-1 + b^-1)^-2 é ?

Answer 1

Inicialmente, vamos escrever os valores a e b de outra forma. Uma vez que eles tão elevados a -1, podemos dizer que:

(1/a + 1/b)^-2

Agora, fazemos a mesma coisa com o expoente -2:

1 / (1/a + 1/b)²

Abrindo o divisor, temos:

1 / [(1/a)² + 2*(1/a)*(1/b) + (1/b)²]

Calculamos o mínimo múltiplo comum dentro do parênteses:

1 / [ (b² + 2*a*b + a²) / a²*b² ]

Agora, trocamos a expressão "b² + 2*a*b + a²" por "(a + b)²":

1 / [ (a + b)² / a²*b² ]

Por fim, invertermos a expressão. Desse modo, o resultado final é:

a²b²/(a+b)²

Answer 2

O valor da expressão é: a²b² / (a + b)²

Antes de respondermos essa questão, vamos relembrar o que é uma fração e potência

Uma fração é formada por um numerador (número acima do traço) e por um denominador (número abaixo do traço)

A fração é representada da seguinte maneira:

NUMERADOR / DENOMINADOR

O denominador, para que se chegue a um resultado, tem que ser diferente zero.

A potenciação nada mais é do que a multiplicação de números igual repetidas vezes, em que é representada pela potência. Ou seja:

$x^{y}$

Sendo:

x = número qualquer

y = potência do número

Para transformar uma fração em potência, a potência com o expoente negativo.

Ou seja: o expoente negativo significa que o número em questão é uma fração

Temos a seguinte expressão:

$(a^{-1} + b^{-1})^{-2}$

Como todos os expoentes são negativos, já sabemos que todos são frações. Ou seja:

$a^{-1}$ = 1/a

$b^{-1}$ = 1/b

Portanto:

$(a^{-1} + b^{-1})^{-2}$ = 1 / (1/a + 1/b)²

Desenvolvendo a expressão, temos:

1 / (1/a + 1/b)²

= 1 / (1/a)² + 2*(1/a)*(1/b) + (1/b)²

= 1 / (b² + 2*a*b + a²) / a²*b²

= 1 / (a + b)² / a²*b²

= a²b² / (a + b)²

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