( UFMG ) – O ponto da reta s que está mais próximo da origem
é A = ( -2, 4 ). A equação da reta s é :
a) x + 2y = 6 b) x – 2y + 10 = 0 c) y + 2x = 0
d) 2y – x = -10 e) y + 2x = 6
Passo a passo!!
Soluções para a tarefa
Como o ponto passa pela origem, seu coeficiente linear é "0". Vamos determinar o coeficiente angular "a" da reta.
a = Δy / Δx
a = (Ya - Yo) / (Xa - Xo)
a = (4 - 0) / (-2 - 0)
a = 4 / (-2)
a = -2
Portanto, a reta que passa pela origem e pelo ponto A é:
y = -2x
A reta "s" procurada será perpendicular a reta encontrada acima, ou seja, seu coeficiente angular "m" será dado por:
m = -1/a = -1/(-2) = 1/2
Portanto, a equação da reta "s" será do tipo:
y = x/2 + b
Para determinar o valor de "b", usamos o fato de que o ponto A = (-2, 4) pertence a reta "s", ou seja, suas coordenadas satisfazem a equação da reta. Vamos substituir as coordenadas de "A" na equação da reta "s".
y = x/2 + b
4 = (-2)/2 + b
4 = -1 + b
4 + 1 = b
b = 5
Portanto, a equação da reta "s" será:
y = x/2 + 5
y - 5 = x/2
2(y - 5) = x
2y - 10 = x
0 = x - 2y + 10
x - 2y + 10 = 0
Alternativa "b".
Resposta:
B) x - 2y +10 = 0
Explicação passo-a-passo:
A outra resolução passo a passo dada a cima está corretíssima! e é uma ótima resolução se você está aprendendo a matéria, mas como se vê é muito longa, e demorada em vestibular não temos esse tempo todo, então antes de começar a conjecturar formulas e outros, vamos pensar no problema...
Lendo o problema, facilmente conseguimos imaginar oq o problema pede e são valores baixos que dá até para fazer um esboço do graffito em "escala", uns 3 ou 4 rabiscos na folha para visualizar melhor o problema...
e temos que saber algumas propriedades de cor:
Para que esse ponto A seja o mais próximo da origem é preciso que nenhum outro ponto esteja contido na circunferência com centro na origem e de raio igual a distancia do poto A e a Origem, se nao este outro ponto estaria mais perto do que o ponto A...
observamos no esboço que a reta tem que ser crescente, e em uma reta (ax+by+c) crescente -a/b>0, eliminando com alguns cálculos simples os itens A, C e E.
Agora temos dois caminhos realmente descobrir a equação da reta S ou achar mais restrições até só restar 1 alternativa, ambas sao validas, mas aqui me parece mais vantajoso testar se o ponto A está na contido nas equações da reta das alternativas restantes B e D...
Testando na B:
A(-2,4) x-2y+10=0
-2-2*4+10
-2-8+10
-10+10=0 Ok
Testando na D:
A(-2,4) 2y-x=-10
2*4-(-2)
8+2 = 10 ≠ -10
Logo a equação da alternativa D nem se quer contem o ponto A, e nao pode ser a resposta correta sobrando apenas o item B!
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Como eu fiz a questão rapidamente:
Imaginei onde estava esse ponto no plano cartesiano, e notei que a reta tinha que ser inclinada para cima, procurei nas alternativas se em todas as alternativas os sinais que acompanham as incognitas x e y seriam diferentes entre si, oq faria a reta ser crescente, quando vi que eliminei 3 alternativas em 10 segundos de questao, vi que estava no caminho certo, entao quase indo calcular o resto da questão, eu pensei no 10 que está em ambos os itens mas os outros valores eram diferentes, logo testei os valores de A para ver se nao achava outro absurdo e BINGO, questao morta com 3 linhas de calculo... Esses insight sao top. obrigado por ler!
