Question

[UFMG – 2013] Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com AB = 160 e AD = 80; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e Q.

Considerando essas informações,

1. DETERMINE o raio QO da circunferência.

2. DETERMINE o comprimento do segmento PQ.

(Gabarito: 1. 40; 2. 32√5).

Favor responder detalhadamente passo a passo, de forma clara e organizada. Obrigado.

Answer 1

1. o raio é metade do diâmetro. como a circunferência é tangente em três pontos da circunferência, o lado AD é igual ao seu diâmetro

AD=d
r=AD/2
r=80/2
r=40
$\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{r = 40}}}}$


2. para calcular PQ, fazemos dois triângulos:

POQ e QDC onde são semelhantes e isósceles.
o lado PO é o raio da circunferência logo

PO=40

o lado QD é metade da diagonal. calculando

DQ²=160²+80²
DQ=80√5

fazendo a proporção

DQ/PO=DC/QP
40√5/40=160/QP
QP=160/√5
QP=32√5
$\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{ \textit{pq}= {32 \sqrt{5}} }}}}$

Answer 2

- cálculo do raio (OQ)

Veja que o diâmetro do círculo é igual a BC= 80, assim o raio OQ= 80 ÷ 2 = 40

- construir o triângulo isósceles AQB  

Os triângulos AQB e QOP são semelhantes (ângulos Q e O são congruentes), assim podemos relacionar:

PQ ÷ AB = OQ ÷ AQ  

Temos os valores de AB= 160, OQ= 40, AQ= ?

- cálculo do segmento AQ

Considerando o triângulo retângulo ABD, temos:

BD² = AB² + AD²

BD² = 160² + 80²

BD² = 32000

BD  =  √32000

BD= √42 * 202 * 5

BD= 4*20√5

BD= 80√5, assim

AQ= DQ= QB= DB ÷ 2 = 80√5 ÷ 2 = 40√5, logo:  

PQ= AB * OQ ÷ AQ

PQ= 160 * 40 ÷ 40√5

PQ= 160 ÷ √5

PQ= (160 * √5) ÷ (√5 * √5)

PQ= (160 * √5) ÷ 5

PQ= 32√5