(UFJF − PISM) Um poliedro convexo tem oito vértices e apenas faces triangulares e quadrangulares. O
número de faces triangulares e o quádruplo das quadrangulares. O número de arestas desse poliedro é
a) 32
b) 20
c) 16
d) 10
e) 8
Soluções para a tarefa
Resposta:
16 arestas
Explicação passo-a-passo:
Consideremos:
F -> Número total de faces;
Ft -> Número de faces triangulares;
Fq -> Número de faces quadrangulares.
Ou seja, F = Ft + Fq
O número de faces triangulares é o quádruplo da de faces quadrangulares:
Ft = 4 Fq
F = Ft + Fq = 4 Fq + Fq = 5 Fq
Poliedros são formados por faces poligonais, polígonos têm lados e, se uma aresta é formada pela junção de dois lados, podemos definir, por exemplo, que A = L / 2 * F ; (Sendo L o número de lados)
Isto é, número de lados dividido por dois (pois arestas são 2 lados "juntos" um ao outro, e multiplicadas pelo tanto de faces para obter o total de arestas no poliedro).
No entanto, se o poliedro é formado por mais de um tipo de polígono, podemos fazer isso por partes e somar.
A = Lt / 2 * Ft + Lq / 2 * Fq
Como triângulos têm 3 lados e quadriláteros têm 4 lados, Lt = 3 e Lq = 4
A = 3 / 2 * Ft + 4 / 2 * Fq
Mas vimos que Ft = 4 Fq, então...
A = 3 / 2 * 4 Fq + 4 / 2 * Fq
A = 3 * 2 Fq + 2 * Fq = 8 Fq -> A = 8 Fq
(o número de arestas é oito vezes o número de faces quadrangulares)
O poliedro é convexo e obedece à Relação de Euler.
V + F = A + 2 (Temos que V = 8, F = 5 Fq e A = 8 Fq)
8 + 5 Fq = 8 Fq + 2
3 Fq = 6
Fq = 2 (há 2 faces quadrangulares)
A = 8 Fq -> A = 8 * 2 -> A = 16 arestas.
--Caso há algum problema, por favor me corrijam.
O número de arestas desse poliedro é 16 - letra c).
Vamos aos dados/resoluções:
Com abordagem sobre a Relação de Euler, temos que:
- Ele possuí oito Vértices;
- O número de Faces não possuímos;
- E também não possuímos o número de Arestas;
Porém temos conhecimento de que as faces serão divididas em faces triangulares e quadrangulares (ênfase que nas faces triangulares acabam sendo quatro vezes da quadrangulares).
Portanto:
- Temos x de faces quadrangulares;
- 4X de faces triangulares;
Então se temos x faces (4), iremos possuir: A = 4x e quantas faces triangulares temos? A = 12x, fazendo com que nosso total de arestas, seja um total de 16. Só que quando montarmos o nosso poliedro, eu terei esse 16 dividido por 2, nos dando 8x de arestas.
Agora temos:
- V = 8 ;
- F = 5X ;
- A = 8x.
Utilizando a relação de Euler, teremos:
F + V = A + 2 ;
5x + 8 = 8x + 2
8 - 2 = 8x - 5x
6 = 3x
x = 2
Portanto, temos que 8 (número de arestas) vezes 2, nos dará 16, que é o resultado final.
Para saber mais sobre o assunto:
https://brainly.com.br/tarefa/37782932
espero ter ajudado nos estudos e bebam água :)
