Question

(UFJF) De quantas maneiras podemos escolher 3 números naturais distintos dentre os inteiros de 1 a 20, de modo que a soma dos números
escolhidos seja ímpar? (ME AJUDEM PELO AMOR DE DEUS!)

Answer 1

Lembro-me tão bem de quando fiz essa questão de análise combinatória... É bem perigosa. Vamos resolvê-la cuidadosamente:

1) Os números escolhidos DEVEM SER DISTINTOS; 
2) A soma dos três deve ser sempre um número ímpar.

Não sei se você já percebeu, mas quando adicionamos um número natural ímpar a outro natural ímpar o resultado é sempre um número natural par. Observe: 

1 + 1 = 2
3 + 5 = 8 
13 + 17 = 30

Por que eu disse isso? Ora, você adicionará três números e o resultado deve ser ímpar. Sob as condições do enunciado, quando isso será possível? Se os três forem pares, a soma é par. E se os três forem ímpares? Aí, sim, teremos um caso interessante, pois a resposta é NECESSARIAMENTE ímpar. Ou seja, um dos casos a ser considerados é quando os três números escolhidos forem ímpares. Vamos trabalhar com esse caso primeiro. Do conjunto dado pela questão, o que nos interessa agora é o que tem como elementos apenas os números ímpares.

I = {1, 3, 5, ... 19}
______   ______   ______

Você deve saber que nesse tipo de problema podemos achar a quantidade de sequências possíveis* utilizando o seguinte método:

10.(10 - 1).(10 - 2) =
= 10 . 9 . 8 =
= 720
irei admitir que você já sabe o que está acontecendo aqui]

* com "sequências possíveis" me refiro a todas as sequências de três números possíveis, ou seja, 7/9/3, 3/9,7, 9/3/7, etc.

Resultado: com esses dez números é possível criar 720 sequências com os três números distintos. Essa, porém, ainda não é nossa resposta. 

CUIDADO: nessas 720 sequências temos, por exemplo, estas:

1/5/7
1/7/5
5/1/7
5/7/1
7/1/5
7/5/1

6 sequências possíveis com os números 1, 5 e 7. Perceba que não iremos considerar todas, pois à questão não interessa a ordem. Dessas 6 sequências iremos considerar apenas 1 (qualquer uma). A questão diz que devemos escolher três números. Só isso. Não importa a ordem. Você escolher 1, 5 e 7 é a mesma coisa que escolher 7, 1, 5. O que faremos? Dividiremos o resultado (720) por 6. 

720/6 = 120

Ou seja, há 120 maneiras de escolher três ímpares (não importando a ordem, mas a cada três ímpares distintos corresponde uma sequência das 120).

Agora o segundo e último caso:

DOIS PARES E UM ÍMPAR

Vamos nos preocupar com os pares primeiramente. O conjunto é P = {0, 2, 4, ..., 20}. Para descobrir quantas possibilidades de escolha de 2 pares distintos há, fazemos o mesmo procedimento:

10.(10 - 1) = 
10.9 = 
90

Ou seja, há 90 possibilidades. MAS teremos de dividir esse resultado por 2. Note que temos as sequências 10/2 e 2/10. A ORDEM NÃO IMPORTA. O que a questão quer é que você escolha um 10 e um 2. Ou um 2 e um 10. Como disse, a ordem não importa. 

90/2 = 
45

Logo, há 45 possibilidades de escolha de dois números pares distintos. Note que para cada possibilidade, por exemplo 10 e 2, precisaremos de um ímpar. Quantos são os ímpares? Isso! 10 ímpares. Ou seja, se multiplicarmos 45 por 10 teremos o número de TODAS AS POSSIBILIDADES POSSÍVEIS DE dois pares e um ímpar (lógico, sem que importe a ordem). 

Logo,

45.10 =
450

Adicionando todas as possibilidades, temos:

120 + 450 = 570

A RESPOSTA É 570

Answer 2

Resposta:

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19  são dez  e dez pares

Se a ordem não for importante

par+par+ímpar ==>10*9*10/2!=450

ou  C10,2 *10 =45*10 =450

ímpar +ímpar+ímpar ==>10*9*8 =/3! =120

ou

C10,3 =10!/(7!*3!)=120

Total = 450+120 = 570