Question

(UFG ) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os ângulos ABCˆ e ACBˆ medem 135° e 30°, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 20 metros. Considere que o rio tem largura x

Answer 1

Trace 2 paralelas e marque os pontos como no desenho anexo

$Se~~A\hat{B}C=135\º\\ \\ \hat{B'}=180\º-135\º=45\º\\ \\ Se~~H=90\º\\ \\ \triangle AHC ~~\'e~~ret\hat{a}ngulo~~is\'osceles\\ \\ logo\\ \\ AH\mapsto d~(largura~~do~~rio)\\ \\ HB \mapsto d\\ \\ BC \mapsto20+d$

$Temos\\\\tg30\º ={cateto~~oposto\over cateto~~adjacente}\\ \\ {1\over\sqrt{3}}={d\over d+20}\\ \\ d\sqrt{3} =d+20\\ \\ d\sqrt{3} -d=20\\ \\ d(\sqrt{3} -1)=20\\ \\ d={20\over\sqrt{3} -1}\\ \\ racionalizando\\ \\ d={20(\sqrt{3} +1)\over(\sqrt{3} -1)(\sqrt{3} +1)}={20(\sqrt{3} +1)\over3-1}={20(\sqrt{3} +1)\over2}\\ \\ d=10(\sqrt{3} +1)\\ \\ Se~~\sqrt{3} \approx 1,7\\ \\ d=10(1,7+1)\\ \\ d=10(2,7)\\ \\ d=27m\\ \\ logo~~largura~~do~~rio~~x=d~~\'e~~27m$

 

Answer 2

A largura do rio é 27 metros.

Completando a questão:

Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio.

Solução

A figura abaixo ilustra a situação dada no enunciado.

Perceba que o triângulo ACD é retângulo em D. Além disso, temos que o cateto AD é oposto ao ângulo de 30º, enquanto que o cateto CD é adjacente.

A razão trigonométrica tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Dito isso, temos que:

tg(30) = AD/CD.

Observe que CD = 20 + DB. Além disso, o ângulo ABD mede 180 - 135 = 45º. Isso significa que o triângulo retângulo ACD é isósceles e AD = BD.

Como AD = x, podemos concluir que a largura do rio é, aproximadamente, igual a:

√3/3 = x/(20 + x)

√3(20 + x) = 3x

1,73(20 + x) = 3x

34,6 + 1,73x = 3x

3x - 1,73x = 34,6

1,27x = 34,6

x ≈ 27 m.

Para mais informações sobre razão trigonométrica: https://brainly.com.br/tarefa/19394259