Question

(Ufg 2004) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um(Ufg 2004) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2,1), B(3,5) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km², é de:
a) 17/2 
b) 17
c) 2√17  
d) 4√17
e) (√17)/2 

Sei que a alternativa correta e letra A), mas preciso da resoluçao, usando formulas de geometria analítica, não modulo.

Answer 1

a) Determine a equação da reta suporte do lado AC:

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\2&1&1\\7&4&1\end{array}\right] =0\\ \\ x+7y+8-7-2y-4x=0\\ \\ \boxed{-3x+5y+1=0}$

b) Determinar a distância do ponto B à reta suporte do lado AC:

$d_{Br}=\frac{|-3.3+5.5+1|}{\sqrt{(-3)^2+5^2}}=\frac{17}{ \sqrt{34} }$

Esta distância é a altura do triângulo em relação ao lado AC

c) Calculando a distância AC (base do triângulo):

$d_{AC}=\sqrt{(7-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$

e) Finalmente aplicar a fórmula da área do triângulo conhecendo-se a base e a altura:

$A=\frac{1}{2}. \sqrt{34}.\frac{17}{\sqrt{34}}=\frac{17}{2}=8,5 \ km^2$