Question

(UFES) seja ABCD um trapézio retângulo, O angulo formado pelas bissetrizes de um angulo reto e do angulo consecutivo a ele na base maior mede 92 graus. Então os ângulos agudos e obtusos desse trapézio medem, respectivamente

Answer 1

Veja a figura em anexo (os ângulos não estão na escala real, mas isso não interfere na resolução)



As semirretas $\overset{\to}{AO}$ e $\overset{\to}{BO}$ são bissetrizes dos ângulos $D\widehat{A}B$ e $A\widehat{B}C,$ respectivamente.


A bissetriz de um ângulo divide este ângulo em duas partes iguais, como está ilustrado na figura.


O ângulo formado pelas bissetrizes é o ângulo $A\widehat{O}B,$ que mede $92^{\circ}.$


Então, tomando a soma dos ângulos internos do triângulo $AOB,$ temos

$45^{\circ}+92^{\circ}+\dfrac{\alpha}{2}=180^{\circ}\\ \\ \\ 137^{\circ}+\dfrac{\alpha}{2}=180^{\circ}\\ \\ \\ \dfrac{\alpha}{2}=180^{\circ}-137^{\circ}\\ \\ \\ \dfrac{\alpha}{2}=43^{\circ}\\ \\ \\ \alpha=2\cdot 43^{\circ}\\ \\ \alpha=86^{\circ}$


Para encontrar o ângulo $\beta,$ basta lembrarmos que

em qualquer quadrilátero (convexo), a soma dos ângulos internos é igual a $360^{\circ}:$

$90^{\circ}+90^{\circ}+\alpha+\beta=360^{\circ}\\ \\ 180^{\circ}+\alpha+\beta=360^{\circ}\\ \\ \beta=360^{\circ}-180^{\circ}-\alpha\\ \\ \beta=360^{\circ}-180^{\circ}-86^{\circ}\\ \\ \beta=94^{\circ}$


Então, os outros dois ângulos são

$\alpha=86^{\circ}\;\text{ e }\;\beta=94^{\circ}.$

(o ângulo agudo e o obtuso, respectivamente)