Question

(UFC-2009) Dois capacitores desconhecidos são ligados em série a uma bateria de força eletromotriz E, de modo que a carga final de cada capacitor é q. Quando os mesmos capacitores são ligados em paralelo à mesma bateria, a carga total final da associação é 4q. Determine as capacitâncias dos capacitores desconhecidos.

Answer 1

Olá,

Da definição de capacitância:

C = Q / U

Capacitância equivalente em série:

(C1 x C2) / (C1 + C2) = q / E

1) C1 + C2 = (C1 x C2 x E) / 4

Capacitância equivalente em paralelo:

(C1 + C2) = (4 x q) / E

(C1 + C2) = (4 x q / E) // x(-1)

2) - C1 - C2 = - (4 x q) / E

Somando as equações 1 e 2:

1) C1 + C2 = (C1 x C2 x E) / 4

2) - C1 - C2 = - (4 x q) / E

(C1 x C2 x E) / q - (4 x q) / E = 0

C1 x C2 = (4  x q / E) x (q / E)

3) C1 x C2 = 4 x q² / E²

Da capacitância equivalente em paralelo:

4) C1 = ((4 x q) / E) - C2

Aplicando 4 em 3:

(4 x q / E) - C2) x C2 = 4 x q² / E²

4 x q x C2 - C2² = 4 x q² / E² // x(-1)

C2² - (4 x q x C2 / E) + (4q² / E²) = 0

Temos uma equação do segundo grau. Vamos usar a forma canônica para determinar os zeros da função.

a x (C2 - m)² + k = 0

m = - b / 2 x a = - (- 4 x q / E) / 2 x 1 = 4 x q / 2 x E = 2 x q / E

k = 4 x a x c - b² / 4 x a

k = 4 x 1 x (4 x q² / E²) - (- 4 x q / E)² / 4 x 1

k = (16q² / E²) - (16q² / E²) / 4 = 0 / 4 = 0

Como k = 0, a função tem duas soluções reais iguais (C2 = C1).

√(C2 - (2 x q / E))² + 0 = √0

C2 = C1 = 2 x q / E

Bons estudos!