(UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:
a) 2√3
b) √3/3
c) √3/6
d) √20/20
e) 3√3
Soluções para a tarefa
A alternativa correta é a letra b)√3/3.
Vamos aos dados/resoluções:
Dadas as informações, sabemos que a hipotenusa mede 4a e um dos catetos mede 2a, mas não sabemos de qual cateto se trata, certo? Precisamos determinar a medida do segundo cateto, chamando-o de C, pelo Teorema de Pitágoras, teremos:
(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²
(4a)² = (2a)² + c²
16a² = 4a² + c²
c² = 16a² – 4a²
c² = 12a²
c = √12a²
c = 2a√3
Agora que temos noção do terceiro lado da figura, podemos esboçar o triângulo com o qual estamos trabalhando , com isso chamaremos de α, o ângulo oposto a 2a, que é o menor cateto. Podendo então, finalizar a questão :
tg α = cat. oposto a α / cat. adjacente a α
tg α = 2a/2a√3
tg α = 1/ √3
tg α = 1.√3 / √3 √3
tg α = √3/3
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)
A tangente do ângulo oposto ao menor lado é √3/3, alternativa B.
Triângulos retângulos
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos calcular a medida de um dos lados desses triângulos caso saibamos os outros dois. Sendo a o valor da hipotenusa, tem-se:
a² = b² + c²
Seja c a medida do outro cateto, teremos que:
(4a)² = (2a)² + c²
c² = 16a² - 4a²
c² = 12a²
c = √12a²
c = 2a√3
Note que c > 2a, então o menor cateto mede 2a. Seja β o ângulo oposto a este cateto, pela função tangente teremos:
tan β = 2a/c
tan β = 2a/2a√3
tan β = 1√3
tan β = √3/3
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