Matemática, perguntado por Daedalus907, 1 ano atrás

(UFAM) A função y = f(x) e dada implicitamente pela equação 3y² + 2xy - x² = 3. Sabe-se que, para todo x E D(f), f(x) > 0 e que f admite uma reta tangente T que e paralela a reta
5y - x = 2. Determine a equação da reta T.

Soluções para a tarefa

Respondido por carlosmath
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5y - x = 2 ---> y = (1/5)x + 2/5
entao a pendiente da reta é m=1/5

Derivemos implicitamente a equação 3y^2+2xy-x^2=3

(3y^2+2xy-x^2)'=3'\\ \\
6yy'+2y+2xy'-2x=0\\ \\
(6y+2x)y'=2x-2y\\ \\
y'=\dfrac{x-y}{3y+x}\\ \\ \\
\text{como \'e paralela \'a reta dada ent\~ao: }
\dfrac{x-y}{3y+x}=\dfrac{1}{5}\to x=2y\\ \\ \\
\text{Luego...}\\ \\
3y^2+2xy-x^2=3\\ \\
3y^2+2(2y)y-(2y)^2=3\\ \\
\boxed{y=1}\to \boxed{x=2}\\ \\ \\
\text{Reta tangente: }\\ \\
y-1=\dfrac{1}{5}(x-2)\\ \\ \\
\boxed{\boxed{x-5y+3=0}}
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