Question

UESP) Qual das equações a seguir corresponde ao lugar geométrico do conjunto de pontos do plano que equidistam da reta com equação y = x + 1 e do ponto com coordenadas (1;3)? A seguir, ilustramos parte do lugar geométrico: a) x² + y² + 2xy - 6x - 10y + 19 = 0 b) x² - y² + 2xy - 6x - 10y + 19 = 0 c) x² + y² + 2xy + 6x - 10y + 19 = 0 d) x² + y² + 2xy - 6x + 10y + 19 = 0 e) x² + y² + 2xy - 6x + 10y - 19 = 0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~x^2 + y^2 + 2xy - 6x - 10y + 19 = 0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica e cônicas.

A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes da reta diretriz e do foco, gerada a partir do corte transversal de um cone.

Então, utilizaremos esta característica e as fórmulas de distância entre ponto e ponto e distância entre ponto e reta para determinarmos a equação geral da parábola.

Lembre-se:

• A distância entre dois pontos $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ é dada pela fórmula: $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.
• A distância entre um ponto $(x_1,~y_1)$ e uma reta de equação $ax+by+c=0$ é dada pela fórmula: $d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Considere um ponto genérico pertencente a parábola: $(x_0,~y_0)$. O foco será o ponto $(1,~3)$, pois como nos foi dito, o lugar geométrico é o conjunto dos pontos que equidistam da reta $y=x+1$ e este ponto.

Dessa forma, devemos encontrar a equação geral da reta e igualar as distâncias. Para isso, trazemos todos os termos à direita da equação para a esquerda, logo: $-x+y-1=0$.

Igualando as distâncias, teremos:

$\sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-3)^2}=\dfrac{|-1\cdot x_0+1\cdot y_0-1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}$

Calcule as potências e some os valores

$\sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-3)^2}=\dfrac{|-x_0+y_0-1|}{\sqrt{2}}$

Eleve ambos os lados ao quadrado, lembrando que podemos reescrever $|a|=\sqrt{a^2}$

$(x-1)^2+(y-3)^2=\dfrac{(-x+y-1)^2}{2}$

Expanda os binômios e multiplique ambos os lados da equação por $2$

$2x^2-4x+2+2y^2-12x+18=x^2-2xy+2x-2y+y^2+1$

Trazendo todos os termos à direita da igualdade para a esquerda, teremos

$2x^2-4x+2+2y^2-12x+18-x^2+2xy-2x+2y-y^2-1=0$

Some os termos semelhantes

$x^2-6x+y^2-10y+19+2xy=0$

Reorganize os termos

$x^2+y^2+2xy-6x-10y+19=0$

Esta é a equação que corresponde ao lugar geométrico e é a resposta contida na letra a).