Question

uesb- Se z é um número complexo não nulo, tal que z^2 = (modulo)z – (modulo)iz, é correto afirmar
resposta:raiz de 2

Answer 1

Reescrevendo a questão:

Se z é um número complexo não nulo, tal que $z^2=\overline{z}-\overline{z}i$ é correto afirmar:

a) $z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$

b) |z| = √2

c) |z| = 2

d) a parte real de z é positiva

e) a parte imaginária de z é negativa

Solução

Vamos considerar que z = a + bi.

Então o conjugado de z será igual a $\overline{z}=a-bi$.

Sendo assim, temos que:

(a + bi)² = a - bi - (a - bi)i

a² + 2abi - b² = a - bi - ai - b

Lembre-se que: i² = -1

(a² - b²) + 2abi = (a - b) + i(-a-b)

Então, temos duas condições:

a² - b² = a - b e 2ab = - a - b

Da primeira condição, obtemos:

(a - b)(a + b) = a - b

a + b = 1

b = 1 - a

e da segunda condição, obtemos:

2ab = -a - b

2a(1 - a) = -a - (1 - a)

2a - 2a² = -1

2a² - 2a - 1 = 0

Para resolver essa equação do segundo grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-2)² - 4.2.(-1)

Δ = 4 + 8

Δ = 12

$a=\frac{2+-2\sqrt{3}}{4}$

$a=\frac{1+-\sqrt{3}}{2}$

Considerando $a = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ obtemos que $b = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ e, assim, concluímos que a alternativa correta é a letra b, pois:

$|z| = \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{2}$.