Question

(UERN) Sejam as matrizes
A= [ 3 1 2 
  X 4 1  
-1 6 y]
e B= [6 y 2
   1 4 3  
X -1 1], cujos determinantes são, respectivamente, iguais a 63 e 49. Sendo y= x + 3, então a soma dos valores de x e y é: ​

Answer 1

Resposta:

Alternativa a) 7

Explicação passo-a-passo:

O determinante da matriz A em função de um de x e y é dado por

Det A = 12y - 1 + 12x +8 - 18-xy = 12 X + 12y - xy - 11

Mas det A=63 e y= x + 3. Logo

12x + 12(x + 3) - x ( x + 3) - 11 = 63 => x² - 21x + 38 =0

=> x = 2 ou x = 19

Daí, ( x, y) = ( 2,5) ou (x, y) = (19,22)

Por outro lado, o determinante da matriz B é dado por

Det b = 24+ 3xy - 2 - 8x + 18 - y = - 8x - y + 3xy + 40

Assim, dado que det B = 49, concluímos, por inspeção, que x = 2 e y = 5 e, portanto x + y = 2 + 5 = 7

Answer 2

A soma dos valores de x e y é 7.

Cálculo do determinante de uma matriz

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3 devemos utilizar a Regra de Sarrus.

Para a matriz A:

$A = \left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\x&4&1\\-1&6&y\end{array}\right]$

• Passo 1: duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz.

$det (A) \left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\x&4&1\\-1&6&y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\x&4&1\\-1&6&y\end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}3&1\\x&4\\-1&6\end{array}\right] = 63$

• Passo 2: multiplicar os termos das 3 diagonais principais e subtrair a multiplicação dos termos das 3 diagonais secundárias.

$det (A) = D_{principal} - D_{secundaria}=63$

$det (A) = (3.4.y+1.1.(-1)+2.x.6)-(2.4.(-1)+3.1.6+1.x.y)=63$

• Passo 3: resolver a equação.

$(12y-1+12x)-(-8+18+xy)=63$

$12y-1+12x+8-18-xy=63$

$12y+12x-11-xy=63$

$12y+12x-xy=74$

Para a matriz B:

$B = \left[\begin{array}{ccc}6&y&2\\1&4&3\\x&-1&1\end{array}\right]$

• Passo 1: duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz.

$det (B) \left[\begin{array}{ccc}6&y&2\\1&4&3\\x&-1&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6&y&2\\1&4&3\\x&-1&1\end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}6&y\\1&4\\x&-1\end{array}\right]= 49$

• Passo 2: multiplicar os termos das 3 diagonais principais e subtrair a multiplicação dos termos das 3 diagonais secundárias.

$det (B) = D_{principal} - D_{secundaria}=49$

$det (B) = (6.4.1+y.3.x+2.1.(-1))-(2.4.x+6.3.(-1)+y.1.1)=49$

• Passo 3: resolver a equação.

$(24+3xy-2)-(8x-18+y)=49$

$24+3xy-2-8x+18-y=49$

$40+3xy-8x-y=49$

$3xy-8x-y=9$

Sendo assim, chegamos em duas equações:

Equação 1:   12y + 12x - xy = 74

Equação 2:  3xy - 8x - y = 9

Substituindo y = x +3 na equação 2 temos:

3x(x +3) - 8x - (x +3) = 9

3x² + 9x - 8x - x - 3 = 9

3x² + 9x - 9x = 9 + 3

3x² = 12

x² = 4

x = 2

Se x = 2, então y = 5.

Podemos testar a solução utilizando a equação 1:

12.5 + 12.2 - 2.5 = 74

60 + 24 - 10 = 74

74 = 74

Portanto, temos que a solução é x = 2 e y = 5, logo a soma dos valores de x e y é 7.

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