Question

(Uerj) Um barco navega na direção AB, próximo
a um farol P, conforme a figura a seguir.

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a
direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m,
no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com a
mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB,
a menor distância entre a embarcação e o farol será
equivalente, em metros, a:
a) 500 b) 500√3 c) 1.000 d) 1.000√3

Answer 1

tg60=x/y -->√3=x/y -->y=√3x/3 (racionalizado)
tg30=x/(1000+y) -->√3/3=x/(1000+y) -->1000√3+√3y=3x
substituindo o valor de y nessa expressão-->1000√3+√3(√3x/3)=3x
1000√3+x=3x (simplificado)
1000√3=2x
x=500√3

Answer 2

A distância equivale a 500√3.

Em anexo esta anexado o diagrama da questão.

O triângulo APC e o triângulo BPC são congruentes. Deste modo, ambos possuem o lado PC em comum. Chamando PC de D, vamos ter:

No triângulo APC:

tg 30º = D/(1000 + BC)

D = (1000 + BC)*tg 30º

No triângulo BPC:

tg 60º = D/BC

D = BC*tg 60º

Igualando os dois valores de D:

(1000 + BC)*tg 30º = BC*tg 60º

1000*tg 30º + BC*tg 30º = BC*tg 60º

1000*√3/3 + BC√3/3 = BC√3

Dividindo tudo por √3:

1000/3 + BC/3 = BC

Multiplicando tudo por 3:

1000 + BC = 3BC

3BC - BC = 1000

2BC = 1000

BC = 1000/2 = 500

Utilizando esse valor, no triângulo BPC:

tg 60º = D/BC

√3 = D / 500

D = 500√3

Logo, a resposta correta é a letra b).

Você pode aprender mais sobre Geometria aqui: https://brainly.com.br/tarefa/18303101