(Uerj) a figura ilustra três circunferências, de raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos M, N e P.
O comprimento do segmento de reta MN é igual a raiz quadrada de:
a)3,6
b)3,8
c)4,2
d)4,4
Soluções para a tarefa
O comprimento do segmento de reta MN é igual a raiz quadrada de 3,6.
Analisando o triângulo ABC, temos um triângulo retângulo de catetos iguais a BC e AB e hipotenusa AC.
BC = 2 + 1 = 3
AB = 3 = 1 = 4
AC = 3 + 2 = 5
Utilizando as propriedades trigonométricas em um triângulo retângulo, teremos que o cosseno ângulo BÂC equivale a -
CosBÂC = cateto adjacente/hipotenusa
CosBÂC = 4/5
Pela Lei dos Cossenos sabemos que -
MN² = AM² + AN² - 2. (AM)(AN)CosBAC
MN² = 3² + 3² - 2(3)(3)4/5
MN² = 9 + 9 - 14,4
MN² = 3,6
MN = √3,6
O comprimento do segmento de reta MN é igual à raiz quadrada de:
a) 3,6
Explicação:
Conforme o enunciado informa as medidas dos raios, temos:
BM = BP = 1
BM = BP = 1CP = CN = 2
BM = BP = 1CP = CN = 2AM = AN = 3
Traçando o segmento de reta MN, forma-se o triângulo AMN.
O ângulo oposto ao lado MN mede θ.
Para descobrir a medida MN, basta utilizar a lei dos cossenos:
MN² = AM² + AN² - 2·AM·AN·cos θ
Considerando o triângulo retângulo ABC, temos:
cos θ = cateto adjacente
hipotenusa
cos θ = AB
AC
cos θ = 3 + 1
3 + 2
cos θ = 4
5
Voltando para a fórmula da lei dos cossenos:
MN² = AM² + AN² - 2·AM·AN·cos θ
MN² = 3² + 3² - 2·3·3·4/5
MN² = 9 + 9 - 72/5
MN² = 18 - 14,4
MN² = 3,6
MN = ±√3,6
Como é uma medida de comprimento, só pode ser um valor positivo. Logo: MN = √3,6.
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