Question

(Uerj-2014) Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do triângulo.Desconsiderando as unidades de medida, a expressão Y = P - A indica o valor da diferença entre os números P e A.O maior valor de Y é igual a:

A) 2√3
B) 3√3
C) 4√3
D) 6√3

A resposta é B.

Answer 1

Por ser equilátero P pode ser expresso como P = 3a (Onde "a" é o lado). E A é $\frac{(base * altura) }{2}$. Portanto $A = \frac{(a * h)}{2} = \frac{a * \frac{(a \sqrt{3} )}{2}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Portanto $Y = P - A = 3a - \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Y = f(x).
O valor máximo (Ym) de f(x) é dado por $Ym = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a}$ (não confundir esse "a" com o nosso lado).
Então $Ym = \frac{-(3^2-4* \frac{-\sqrt{3}}{4} * 0)}{4* \frac{-\sqrt{3}}{4}} = \frac{-9}{4* \frac{-\sqrt{3}}{4}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$.


Obs.: Para chegar no valor da altura: $a^2=(\frac{a}{2})^2+h^2$ .:. $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3 * (a^2)}{4}$ .:. $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (h seria "+-" esse valor, mas como se trata de medida descartamos o valor negativo).

Answer 2

O maior valor de Y é igual a 3√3.

O perímetro é igual à soma de todos os lados de uma figura.

O triângulo equilátero possui os três lados congruentes. Considerando que x é a medida do lado, temos que o perímetro é igual a:

P = x + x + x

P = 3x metros.

A área de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula:

• $S=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

Sendo assim, temos que o valor de A é:

A = (x²√3)/4 m².

Como Y = P - A, então:

Y = 3x - x²√3/4.

Temos aqui uma função do segundo grau. Sua parábola possui concavidade para baixo.

Para sabermos o maior valor de y, devemos calcular o y do vértice da parábola.

Dito isso, obtemos:

yv = -Δ/4a

yv = -(3²)/4.(-√3/4)

yv = 9/√3

yv = 3√3.

Alternativa correta: letra b).

Exercício de triângulo equilátero: https://brainly.com.br/tarefa/18403998