Question

(UEPG - PR) Se A = sec teta + tg teta e B = sec teta - tg teta, com 0 < teta < π\2, assinale o que for correto.<br /><br />
(01) se teta = π\3 entao B > 0<br /><br />
(02) A.B = 1<br /><br />
(04) A/B = sec^2 teta + tg^2 teta<br /><br />
(08) A + B = 2/sen teta<br /><br />
(16) se teta = π\6 entao B < 0<br />

Answer 1

Sabendo que:

$sec(\theta) = \frac{1}{cos(\theta)}$

e $tan(\theta) = \frac{sen(\theta)}{cos(\theta)}$

Podemos reescrever A e B:

$A = \frac{1}{cos(\theta)} + \frac{sen(\theta)}{cos(\theta)} = \frac{1+ sen(\theta)}{cos(\theta)}$

$B = \frac{1}{cos(\theta)} - \frac{sen(\theta)}{cos(\theta)} = \frac{1 - sen(\theta)}{cos(\theta)}$

Agora analisando as afirmativas:

01|
Se $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^{o}$:

$B = \frac{1 - sen(60^{o})}{cos(60^{o})} = \frac{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2}} \\ B = \frac{(1 - \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{1} = 1 - \sqrt{3}$

Mas $\sqrt{3} \approx 1,71$, ou seja, B será menor do que 0. Logo, essa afirmativa é falsa.

02|
$A \cdot B = \frac{(1 + sen(\theta)) \cdot (1 - sen(\theta))}{cos^2(\theta)} = \frac{1 - sen(\theta) + sen(\theta) - sen^2(\theta)}{cos^2(\theta)} \\ A \cdot B = \frac{1 - sen^2(\theta)}{cos^2(\theta)} = \frac{cos^2(\theta)}{cos^2(\theta)} = 1$

Essa afirmativa é verdadeira

04|
$\frac{A}{B} = \frac{1 + sen(\theta)}{cos(\theta)} \cdot \frac{cos(\theta)}{1 - sen(\theta)} = \frac{1 + sen(\theta)}{1 - sen(\theta)}$

Vamos multiplicar ambos, numerador e denominador por $(1 + sen(\theta))$:

$\frac{A}{B} = \frac{1 + sen(\theta)}{1 - sen(\theta)} \cdot \frac{1 + sen(\theta)}{1 + sen(\theta)} = \frac{1 + 2sen(\theta) + sen^2(\theta)}{cos^2(\theta)} \\ \frac{A}{B} = sec^2{\theta} + 2 \cdot sec(\theta) \cdot tan(\theta) + tan^2(\theta)$

Ou seja, essa afirmação é falsa.

08|
$A + B = \frac{1 + sen(\theta)}{cos(\theta)} + \frac{1 - sen(\theta)}{cos(\theta)} = \frac{2}{cos(\theta)}$

É falsa, porque o denominador é cosseno e não seno.

16|Se $\theta = \frac{\pi}{6} = 30^{o}$:

$B = \frac{1 - sen(30^{o})}{cos(30^{o})} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ B = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Como B será positivo, essa é falsa também.

Então o somatório será: 02