Question

(UEMG) Considere o seguinte sistema:

3^y– 2^x = 1
3·2^x–1 + 6 = 2·3^y

Na solução desse sistema, tem-se x = a e y = b. Assim, o valor da expressão
(a – 3b)(b – a)/3(b + a) é

a) – 1.
b) –1/2.
c) 1/5.
d) 1/3.

Gabarito: C

Alguém pode me ajudar?

Answer 1

Bom dia!

Vamos lá, nós temos duas expressões e duas incógnitas. A ideia aqui é resolver esse sistema por substituição. No entanto, note uma coisa: você não precisa isolar uma das variáveis em uma equação para substituir na outra, você precisa apenas achar uma expressão que apareça nas duas expressões.

A primeira equação é

$3^y-2^x=1$

Podemos reescrevê-la como

$3^y=2^x+1$

Agora pegamos a segunda equação:

$<span>3\cdot{2^{x-1}}+6=2\cdot{3^y}$

Note que na segunda expressão temos um termo 3^y, assim como na primeira. Vamos substituir, então, esse termo na segunda equação pelo que encontramos na primeira:

$3\cdot{2^{x-1}}+6=2\cdot{3^y}$
$3\cdot{2^{x-1}}+6=2\cdot(2^x+1)$
$3\cdot{2^{x-1}}+6=2\cdot{2^x}+2$
$\frac{3}{2}\cdot{2^x}+6=2\cdot{2^x}+2$
${2^x}\cdot\left(\frac{3}{2}-2\right)=-4$
${2^x}\cdot\left(\frac{-1}{2}\right)=-4$
${2^x}=-4\cdot(-2)$
${2^x}=8$

Assim, se 2 elevado a x é igual a 8, fica evidente que x = 3.

Agora, voltemos a primeira equação, vamos usar o resultados que acabamos de obter:

$3^y=2^x+1$
$3^y=2^3+1$
$3^y=8+1$
$3^y=9$

Aqui, é óbvio que y = 2, pois 3 ao quadrado é igual a nove. Resumindo, temos:

$x=a=3$
$y=b=2$

Queremos, agora, resolver a expressão abaixo, utilizando os valores que obtivemos para a e b:

$\frac{<span>(a-3b)(b-a)}{3(b+a)}$
$\frac{(3-3\cdot{2})(2-3)}{3(3+2)}$
$\frac{(-3)(-1)}{3\cdot{5}}$
$\frac{3}{15}$
$\frac{1}{5}$

Finalmente, temos que a expressão dada vale 1/5 e a alternativa (C) é a correta!

Answer 2

O valor da expressão (a – 3b)(b – a)/3(b + a) é 1/5.

Letra C.

Sistema de equações

Para obter o valor da expressão (a – 3b)(b – a)/3(b + a), precisamos dos valores de a e b.

Como x = a e y = b, já podemos escrever o sistema de equações assim:

{3ᵇ - 2ᵃ = 1

{3.2ᵃ⁻¹ + 6 = 2.3ᵇ

3ᵇ - 2ᵃ = 1 => 3ᵇ = 1 + 2ᵃ

Substituindo essa equação na segunda, temos:

3.2ᵃ⁻¹ + 6 = 2.(1 + 2ᵃ)

3.2ᵃ⁻¹ + 6 = 2 + 2.2ᵃ

3.2ᵃ⁻¹ - 2.2ᵃ = 2 - 6

3.2ᵃ⁻¹ - 2.2ᵃ = - 4

3.2ᵃ - 2.2ᵃ = - 4

  2¹

Multiplicaremos os dois lados da equação por 2 para eliminar a fração:

2.(3.2ᵃ) - 2.2.2ᵃ = 2.(- 4)

       2

3.2ᵃ - 4.2ᵃ = - 8

- 2ᵃ = - 8

2ᵃ = 8

2ᵃ = 2³

Logo: a = 3.

3ᵇ = 1 + 2ᵃ

3ᵇ = 1 + 2³

3ᵇ = 1 + 8

3ᵇ = 9

3ᵇ = 3²

Logo: b = 2.

Portanto:

(a - 3b).(b - a) =

    3(b + a)

(3 - 3.2).(2 - 3) =

    3(2 + 3)

(3 - 6).(- 1) =

   6 + 9

(- 3).(- 1) =

   15

3 = 1

15    5

Mais uma atividade sobre sistema de equações em:

https://brainly.com.br/tarefa/3689546

#SPJ3