Question

(UEM-PR) Considere um cilindro reto e oco, cuja geratriz mede 5 m, e o raio, 4 cm. Suponha que o cilindro gire em torno do seu eixo a 120 rpm. Um projétil é lançado paralelamente ao seu eixo, perfurando suas bases nos pontos 1 e 2. Ao projetar perpendicularmente uma base sobre a outra, observa-se que o ângulo começar estilo tamanho matemático 14px reto fi fim do estilo, formado pelos raios que passam pelos pontos 1 e 2, é de reto pi sobre 2 rad e que menos de meia volta é completada pelo cilindro no percurso do projétil. Supondo que o movimento do projétil no interior do cilindro é retilíneo e uniforme, assinale o que for correto.

01) O período de rotação é começar estilo tamanho matemático 14 / 1 quarto fim do estilo s.

02) A velocidade angular do cilindro é 4π rad/s.

04) O tempo de percurso entre os pontos 1 e 2, do projétil, é de 14 / 1 s.

08) Durante o tempo em que o projétil entra no ponto 1 e sai no ponto 2, um ponto na superfície do cilindro percorre 2π cm.

16) A velocidade do projétil é de 60 m/s.

Answer 1

O período é de $\frac{1}{2}s$. A velocidade angular realmente vale $4\pi$ rad/s. O projétil percorreu o interior do cilindro em $\frac{1}{8} s$. O deslocamento de um ponto na superfície do cilindro é de $2 \pi cm.$ O projétil tem velocidade igual a 40 m/s. A soma das alternativas corretas é igual a 10 (2 + 8).

Nessa questão, devemos utilizar os conceitos de movimento circular para analisar as afirmativas propostas.

Inicialmente, temos que o cilindro está a uma frequência de 120 rpm. Isso quer dizer que o cilindro completa 120 voltas em 1 minuto. Logo, podemos concluir que são dadas 2 voltas a cada segundo, um giro equivalente a 720º, ou $4\pi$ rad, por segundo.

$120 rpm = \frac{120 voltas}{1 min}=\frac{120 voltas}{60 s}=\frac{2voltas}{1s} =\frac{2.2\pi}{1s}=\frac{4\pi}{s}$

Além disso, como são duas voltas a cada segundo, o período será dado por:

$T=\frac{1}{f} =\frac{1}{2}s$.

Assim, quando o enunciado nos informa que durante a passagem do projétil pelo interior do cilindro, o giro que ele deu foi de $\frac{\pi}{2}$ rad, ou seja, 90º (como observamos na figura), então, temos que:

$\Delta\Theta=\omega.\Delta t\\ \frac{\pi}{2}=4\pi.\Delta t\\ \Delta t=\frac{\frac{\pi}{2} }{4\pi}\\ \Delta t=\frac{\pi}{2}.\frac{1}{4\pi}=\frac{1}{8} s$

Esse foi o tempo em que o projétil permaneceu no interior do cilindro.

Considerando o esse tempo de permanência e a velocidade angular do cilindro, podemos concluir que um ponto na superfície do cilindro percorrerá a seguinte distância:

$\Delta s=\omega r \Delta t\\ \Delta s=4 \pi 4. \frac{1}{8}=2\pi cm$.

Como a geratriz do cilindro é de 5m, podemos concluir que:

$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{5}{\frac{1}{8} } =40m/s$

sendo v a velocidade do projétil.

Assim, analisando as afirmativas propostas, concluímos que:

01) Falsa. O período é de $\frac{1}{2}s$.

02) Verdadeira. A velocidade angular realmente vale $4\pi$ rad/s.

04) Falsa. O projétil percorreu o interior do cilindro no intervalo de $\frac{1}{8} s$.

08) Verdadeira. O deslocamento de um ponto na superfície do cilindro é de $2 \pi cm.$

16) Falsa. O projétil tem velocidade igual a 40 m/s.

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