Matemática, perguntado por adrianmartinez4069, 2 meses atrás

UEFS) O número de soluções da equação 3cos²x + tan²x = 3, no intervalo [0, 2π], é

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1

O número de soluções para essa equação trigonométrica é

$\Large\text{$ \boxed{\boxed{7}}$}$

Mas, como chegamos nesse resultado ?

Equação trigonométrica

Para responder essa questão temos que saber a seguinte relação trigonométrica

$Tan^2(x)=\dfrac{Sen^2(x)}{Cos^2(x)}$

$Sen^2(x)= 1-Cos^2(x)$

Com isso em mente vamos responder a questão

Temos que achar o número de soluções possíveis para a seguinte equação $3Cos^2(x)+Tan^2(x)=3$ no intervalo $[0,2\pi ]$

Perceba que temos Cosseno e tangente na mesma equação e isso não é bom, vamos transforma tudo numa só relação trigonometrica

$3Cos^2(x)+Tan^2(x)=3\\\\\\\boxed{3Cos^2(x)+\dfrac{Sen^2(x)}{Cos^2(x)} =3}$

Fazendo o M.M.C para sumir com o Denominador temos

$3Cos^2(x)+\dfrac{Sen^2(x)}{Cos^2(x)} =3\\\\\\\left(3Cos^2(x)\cdot Cos^2(x)\right)+\left(\dfrac{Sen^2(x)}{Cos^2(x)}\cdot Cos^2(x)\right) =3\cdot Cos^2(x)\\\\\\\boxed{3Cos^4(x)+Sen^2(x)=3Cos^2(x)}$

Perceba que ainda temos Sen² então vamos substituir por (1-Cos²(x))

$3Cos^4(x)+Sen^2(x)=3Cos^2(x)\\\\\\\boxed{3Cos^4(x)+1-Cos^2(x)=3Cos^2(x)}$

Agora vamos organizar essa equação de modo que possamos reescrever ela como uma equação do 2°

$3Cos^4(x)+1-Cos^2(x)=3Cos^2(x)\\\\3Cos^4(x)+1-Cos^2(x)-3Cos^2(x)=0\\\\\boxed{3Cos^4(x)-4Cos^2(x)+1=0}$

Agora como faremos para achar o valor de X? é bem simples vamos usar uma método chamado método da substituição

Chamaremos $Cos^2(x)= U$ e substituiremos na equação

$3Cos^4(x)-4Cos^2(x)+1=0\\\\\\\boxed{3U^2-4U+1=0}$

Agora vamos fazer bhaskara para achar o valor de U

$3U^2-4U+1=0\\\\A=3\\B=-4\\C=1$

$\Delta= B^2-4\cdot A\cdot C$

$U=\dfrac{-B\pm \sqrt{\Delta} }{2A}$

Vamos encontrar o valor de Delta

$\Delta= B^2-4\cdot A\cdot C\\\\\Delta= (-4)^2-4\cdot 3\cdot 1\\\\\Delta= 16-12\\\\\boxed{\Delta= 4}$

Agora vamos encontrar U

$U=\dfrac{-B\pm \sqrt{\Delta} }{2A}\\\\\\U=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{4} }{2\cdot 3}\\\\\\U=\dfrac{4\pm 2 }{6}\\\\\\U_1=\dfrac{4+2}{6}\Rightarrow \dfrac{6}{6} = \boxed{1}\\\\\\U_2=\dfrac{4-2}{6}\Rightarrow \dfrac{2}{6} = \boxed{\dfrac{1}{3} }$

Mas lembre-se que U vale $Cos^2(x)$

Então temos

$Cos^2(x)=1\\\\Cos^2(x)= \dfrac{1}{3}$

Agora temos que achar o valor de X que satisfaçam esses 2 valores e que estejam entre $[0,2\pi ]$

Vamos começar com o $Cos^2(x)=1$

$Cos^2(x)=1\\\\Cos(x)=\pm\sqrt{1} \\\\Cos(x)=\pm 1\\\\x=Arccos(\pm1)\\\\\boxed{x= 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ}$

Só ai foram 3 soluções

Agora vamos com o $Cos^2(x)= \dfrac{1}{3}$

$Cos^2(x)= \dfrac{1}{3}\\\\Cos(x)=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3} } \\\\\\X=Arccos\left(\pm\sqrt{\dfrac{1}{3} }\right)$

O Arco cosseno de $\pm\sqrt{\dfrac{1}{3} }$ não é um valor conhecido mas sabemos que ele é um valor maior que -1 e menor 1 , logo ele vai ter 4 pontos no circulo trigonometrico